Đặt \(I=\int\limits^3_1\frac{dx}{e^x-1}\) và \(t=e^x-1\). Khẳng định nào trong các khẳng định sau là sai?
\(\text{dt}=e^xdx\) \(I=\ln\left(e^2+e+1\right)-2\) \(I=\int\limits^{e^3-1}_{e-1}\left(\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{t+1}\right)\text{d}t\) \(\int\left(\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{t+1}\right)\text{dt}=\ln t-\ln\left(t+1\right)+C\) Hướng dẫn giải:Đặt \(t=e^x-1\) thì \(e^x=t+1\) , \(\text{dt}=e^xdx\), \(dx=\frac{\text{dt}}{e^x}=\frac{\text{dt}}{t+1}\) khi đó:
\(I=\int\limits^3_1\frac{dx}{e^x-1}=\int\limits^{e^3-1}_{e-1}\frac{1}{t\left(t+1\right)}\text{dt}\)
\(=\int\limits^{e^3-1}_{e-1}\left(\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{t+1}\right)\text{dt}=\left(\ln\left|t\right|-\ln\left|t+1\right|\right)|^{e^3-1}_{e-1}\)
\(=\ln\left(e^2+e+1\right)-2\)
Chú ý:
\(\int\left(\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{t+1}\right)\text{dt}=\ln t-\ln\left(t+1\right)+C\) chỉ đúng với \(t\in\left(0;+\infty\right)\).
