§1. Bất đẳng thức

Cho 4 số thực \(a,b,c,d\) trong đó \(ac\ne0\). Nghiệm của phương trình \(ax+b=0\) nhỏ hơn nghiệm của phương trình \(cx+d=0\) khi và chỉ khi 

1. \(\dfrac{b}{a}< \dfrac{c}{d}\).
2. ​ ​\(\dfrac{b}{a}>\dfrac{c}{d}\).
3. \(\dfrac{b}{d}>\dfrac{a}{c}\).
4. \(\dfrac{b}{a}>\dfrac{d}{c}\).

Xét hàm số \(f\left(x\right)=x-x^2\). Kết luận nào sau dây đúng?​

1. Hàm số có GTNN = 0,25.
2. Hàm số có GTLN = 0,5.
3. Hàm số có GTNN = - 0,25.
4. Hàm số có GTLN = 0,25.

Cho \(x,y\) là hai số thực thay đổi luôn thỏa mãn \(2x+3y=7\) . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=2x^2+3y^2\).

1. \(\dfrac{43}{5}\).
2. \(\dfrac{46}{5}\).
3. \(\dfrac{49}{5}\).
4. \(\dfrac{51}{5}\).

Nếu \(0< a< 1\) thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?

1. \(\dfrac{1}{a}>\sqrt{a}\).
2. \(a>\dfrac{1}{a}\).
3. \(a>\sqrt{a}\).
4. \(a^3>a^2\).

Cho \(x\) là một số lớn hơn 2. Trong các số \(\dfrac{2}{x},\dfrac{2}{x+1},\dfrac{2}{x-1},\dfrac{x+1}{2},\dfrac{x}{2}\), số nào nhỏ nhất?

1. \(\dfrac{2}{x}\).
2. \(\dfrac{2}{x+1}\).
3. \(\dfrac{2}{x-1}\).
4. \(\dfrac{x}{2}\).

Cho ba số dương a, b, c thay đổi luôn có tổng bằng 1. Khẳng định nào trong các khẳng định sau đây đúng? 

1. \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge64abc\).
2. \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge32abc\).
3. \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge16abc\).
4. \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge8abc\).

Sắp xếp ba số  \(a=\sqrt{6}+\sqrt{13};b=\sqrt{19};c=\sqrt{3}+\sqrt{16}\) theo thứ tự từ bé đến lớn.

1. b, c, a.
2. c, b, a.
3. b, a, c.
4. a, c, b.

Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai ?

1. \(ab\left(a+b\right)\le a^3+b^3;\left(a+b>0\right)\).
2. \(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\).
3. \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\le a+b+c;\left(a,b,c>0\right)\).
4. \(\left(a+b\right)\left(ab+1\right)\ge4ab\left(a,b\ge0\right)\).

Với giá trị nào của a thì hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\x-y=2a-1\end{matrix}\right.\) có nghiệm (x,y) với \(xy\) lớn nhất?

1. \(a=\dfrac{1}{4}\).
2. \(a=\dfrac{1}{2}\).
3. \(a=-\dfrac{1}{2}\).
4. \(a=1\).

Nếu \(a>b>0,c>d>0\) thì bất đẳng thức nào sau đây không đúng?

1. \(a+c>b+d\).
2. \(ac>bd\).
3. \(\dfrac{a}{c}>\dfrac{b}{d}\).
4. \(\dfrac{a}{b}>\dfrac{d}{c}\).

Cho hai số thực a, b sao cho \(a>b\). Bất đẳng thức nào sau đây không đúng?

1. \(a^4>b^4\).
2. \(-2a+1< -2b+1\).
3. \(b-a< 0\).
4. \(a-2>b-2\).

Biểu thức  \(f\left(x\right)=x^2+3\left|x\right|\) có GTNN là

1. \(-\dfrac{3}{2}\).
2. \(-\dfrac{9}{4}\).
3.  0.
4. \(-\dfrac{3}{2}\).

Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào sai ?

1. \(\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\).
2. \(\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}+\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}}>2\sqrt[3]{3}\).
3. \(ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\le2\left(a^3+b^3+c^3\right)\) với \(a,b,c\ge0\).
4. \(3\left(1+a^2+a^4\right)\ge\left(1+a+a^2\right)^2\).

Nếu \(a+b< a\) và \(b-a>b\) thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?

1. \(ab>0\).
2. \(b< a\).
3. \(a< b< 0\).
4. \(a>0\) và \(b< 0\).

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A=\dfrac{4y^2-4x^2+6xy}{x^2+y^2}\) khi x, y thay đổi luôn thỏa mãn điều kiện \(x^2+y^2\ne0\).

Giá trị lớn nhất của biểu thức A là :

1. 3.
2. 4.
3. 5.
4. 6.

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác. Mệnh đề nào sau đây không đúng?

1. \(a^2< ab+ac\).
2. \(ab+bc>b^2\).
3. \(b^2+c^2< a^2+2bc\).
4. \(b^2+c^2>a^2+2bc\).

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

1. \(\dfrac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge2,\forall a\).
2. \(a^2\left(1+b^4\right)+b^2\left(1+a^4\right)\ge\left(1+a^4\right)\left(1+b^4\right)\) , \(\forall a,b\).
3. \(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\), \(\forall a,b,c\).
4. \(\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\) \(,\forall a,b,c,d\ge0\).

Tìm số nhỏ nhất và số lớn nhất trong 4 số sau đây:  \(a=3+\sqrt{2},b=\sqrt{15},c=2+\sqrt{3},d=4\).

1. số nhỏ nhất là b, số lớn nhất là c.
2. số nhỏ nhất là c, số lớn nhất là d.
3. số nhỏ nhất là b, số lớn nhất là a.
4. số nhỏ nhất là c, số lớn nhất là a.

Tìm GTNN của biểu thức \(A=x^8+y^8\) khi \(x,y\) thay đổi nhưng luôn có tổng bằng 1.

1. \(\dfrac{1}{4}\).
2. \(\dfrac{1}{16}\).
3. \(\dfrac{1}{64}\).
4. \(\dfrac{1}{128}\)

Cho hàm số  \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

1. GTNN = 0, GTLN =1.
2. Không có GTNN; GTLN =1.
3. GTNN = 1, GTLN =2.
4. Không có GTNN, GTLN.

Nếu \(a>b>0\) và \(c>d>0\) thì bất đẳng thức nào sau đây sai?

1. \(ac>bc\).
2. \(a-c>b-d\).
3. \(a^2>b^2\).
4. \(ac>bd\).

Cho hai số a, b có tổng bằng 3. Khi đó tích ab

1. Có GTNN là \(\dfrac{9}{4}\).
2. Có GTLN là \(\dfrac{9}{4}\).
3. Có GTLN là \(\dfrac{3}{2}\).
4. Không có GTLN.

Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều  kiện  \(ax+by-\sqrt{xy}\ge0\) đúng \(\forall x,y>0\) . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

1. \(ab>\dfrac{1}{5}\)
2. \(ab>0\)
3. \(\left\{{}\begin{matrix}a>0,b>0\\ab\ge\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
4. \(ab\ge\dfrac{1}{4}\)

Biểu thức  \(f\left(x\right)=x^2+3x\) có GTNN là

1. \(-\dfrac{3}{2}\).
2. \(-\dfrac{9}{4}\).
3. \(-\dfrac{27}{4}\).
4. \(-\dfrac{81}{8}\).

Nếu \(2a>2b\) và \(-3b< -3c\) thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?

1. \(a< c\) .
2. \(a>c\).
3. \(-3a>-3c\).
4. \(a^2>c^2\).

Trong 4 bất đẳng thức sau , bất đẳng thức nào sai?

1. \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\) \(,\forall a,b\).
2. \(a^2+b^2+4\ge ab+2a+2b\) \(,\forall a,b\).
3. \(\dfrac{a^2}{4}+b^2+c^2\ge ab-ac+2bc\)\(,\forall a,b,c\).
4. \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}\) \(,\forall a>0,b>0\).

Bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức sau đây sai?

1. \(a^2-ab+b^2\ge ab\left(\forall ab\right)\).
2. \(b\left(a-b\right)\le a\left(a-b\right)\left(\forall ab\right)\).
3. \(4ab\left(a-b\right)^2\le\left(a^2-b^2\right)^2\forall a,b\).
4. \(a^3+2\le a^2+2\sqrt{a}\forall a\ge0\).

Cho a, b, c là các số dương thay đổi luôn có \(a+b+c=1\)

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)\) 

1. 4.
2. 16.
3. 32.
4. 64.

Nếu \(a+2c>b+2c\) thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?

1. \(-3a>-3b\).
2. \(a^2>b^2\).
3. \(2a>2b\).
4. \(\dfrac{1}{a}< \dfrac{1}{b}\).

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(x^2-6\left|x\right|\) là

1. -9.
2. - 6.
3.  0.
4.  3.