§2. Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

I. KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

1. Bất phương trình một ẩn

Bất phương trình ẩn \(x\) là mệnh đề chứa biến có dạng \(f\left(x\right)< g\left(x\right)\) (\(f\left(x\right)\le g\left(x\right)\))  (1)  , trong đó \(f\left(x\right)\) và \(g\left(x\right)\) là những biểu thức của \(x\).

Ta gọi \(f\left(x\right)\) và \(g\left(x\right)\) lần lượt là vế trái và vế phải của bất phương trình (1). Số thực \(x_0\) sao cho \(f\left(x_0\right)< g\left(x_0\right)\) (\(f\left(x_0\right)\le g\left(x_0\right)\)) là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình (1). 

Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm.

Chú ý: Bất phương trình (1) cũng có thể viết lại dưới dạng

           \(g\left(x\right)>f\left(x\right)\)  (\(g\left(x\right)\ge f\left(x\right)\))

Ví dụ: +) \(2x-3\ge x+1\)   ;

          +) \(\dfrac{x}{3}+1< \dfrac{x-1}{2}\)   ;

          +) \(\sqrt{x-4}+1\le x+1\)   ;

          +) \(\sqrt[3]{2x+1}>x-5\)  ; ...

2. Điều kiện của một bất phương trình

Tương tự đối với phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số \(x\) để \(f\left(x\right)\) và \(g\left(x\right)\) có nghĩa là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình (1).

Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của bất phương trình \(\sqrt{3-x}+\sqrt{x+1}\le x^2\).

Giải:

Điều kiện của phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}3-x\ge0\\x+1\ge0\end{matrix}\right.\) 

Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định của bất phương trình \(\dfrac{x-1}{\sqrt{2-x}}+\dfrac{1}{x-3}\ge x+\dfrac{\sqrt{x}}{2}\).

Giải:

Điều kiện của bất phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}2-x>0\\x-3\ne0\\x\ge0\end{matrix}\right.\) 

3. Bất phương trình chứa tham số

Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số. 

Ví dụ: +) \(\left(2m-1\right)x+3>0\)  ;

          +) \(x^2-mx+1\le0\)  ;  ...

Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xem xét với giá trị nào của tham số bất phương trình vô nghiệm, bất phương trình có nghiệm và tìm các nghiệm đó.

II. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

Hệ bất phương trình ẩn \(x\) gồm một số bất phương trình ẩn \(x\) mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng.

Mỗi giá trị của \(x\) đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó.

Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm.

Ví dụ 1: Giải hệ bất phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}3-x\ge0\\x+1\ge0\end{matrix}\right.\).

Giải:

Giải từng bất phương trình ta có: \(3-x\ge0\Leftrightarrow3\ge x\)

                                                     \(x+1\ge0\Leftrightarrow x\ge-1\)

Biểu diễn trên trục số các tập nghiệm của các bất phương trình này ta được:

Giao của hai tập hợp trên là đoạn \(\left[-1;3\right]\).

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là \(\left[-1;3\right]\) hay còn có thể viết là \(-1\le x\le3\).

Ví dụ 2: Giải hệ bất phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+1\ge0\\2x-3< x+1\end{matrix}\right.\).

Giải:

Bất phương trình \(x^2+1\ge0\) (1) nghiệm đúng với mọi số thực \(x\).

Xét bất phương trình (2) \(2x-3< x+1\) 

                                      \(\Leftrightarrow2x-x< 1+3\)

                                      \(\Leftrightarrow x< 4\)

Do đó, tập nghiệm của hệ bất phương trình cũng chính là tập nghiệm của bất phương trình (2) 

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là \(\left(-\infty;4\right)\).

III. MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1. Bất phương trình tương đương

Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương đương và dùng kí hiệu "\(\Leftrightarrow\)" để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó.

Tương tự, khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với nhau và dùng kí hiệu "\(\Leftrightarrow\)" để chỉ sự tương đương đó.

Ví dụ: +) \(x^2>4\Leftrightarrow\left|x\right|>2\)  ;

          +) \(\left\{{}\begin{matrix}2x-5< x\\x^3>1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-5< 0\\x>1\end{matrix}\right.\)  ; ...

2. Phép biến đổi tương đương

Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương.

Chẳng hạn: \(\left\{{}\begin{matrix}3-x\ge0\\x+1\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\ge x\\x\ge-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-1\le x\le3\)

Ta sẽ xét một số phép biến đổi thường sử dụng khi giải bất phương trình.

3. Cộng (trừ)

Cộng (trừ) hai vế của một bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.

    \(P\left(x\right)< Q\left(x\right)\Leftrightarrow P\left(x\right)+f\left(x\right)< Q\left(x\right)+f\left(x\right)\)

Ví dụ 1: Giải bất phương trình \(\left(x+2\right)\left(2x-1\right)-2\le x^2+\left(x-1\right)\left(x+3\right)\).

Phân tích bài toán: 

Khai triển và rút gọn từng vế ta được bất phương trình: \(2x^2+3x-4\le2x^2+2x-3\)

Chuyển vế và đổi dấu các hạng tử của vế phải (thực tế là ta cộng cả hai vế của bất phương trình với biểu thức \(-\left(2x^2+2x-3\right)\)) ta được một bất phương trình đã biết cách giải.

Giải:

    \(\left(x+2\right)\left(2x-1\right)-2\le x^2+\left(x-1\right)\left(x+3\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^2+4x-x-2-2\le x^2+x^2-x+3x-3\)

\(\Leftrightarrow2x^2+3x-4\le2x^2+2x-3\)

\(\Leftrightarrow2x^2+3x-4-\left(2x^2+2x-3\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow x-1\le0\)

\(\Leftrightarrow x\le1\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \((-\infty;1]\).

Nhận xét: Nếu cộng cả 2 vế của bất phương trình \(P\left(x\right)< Q\left(x\right)+f\left(x\right)\) với biểu thức \(-f\left(x\right)\) ta được bất phương trình \(P\left(x\right)-f\left(x\right)< Q\left(x\right)\). Do đó:

        \(P\left(x\right)< Q\left(x\right)+f\left(x\right)\) \(\Leftrightarrow\) \(P\left(x\right)-f\left(x\right)< Q\left(x\right)\)

Như vậy, chuyển vế và đổi dấu một hạng tử trong một bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.

4.  Nhân (chia)

Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị dương (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương) trình ta được một bất phương trình tương đương.

Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị âm (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) và đổi chiều bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.

     \(P\left(x\right)< Q\left(x\right)\Leftrightarrow P\left(x\right).f\left(x\right)< Q\left(x\right).f\left(x\right)\) nếu \(f\left(x\right)>0,\forall x\)

     \(P\left(x\right)< Q\left(x\right)\Leftrightarrow P\left(x\right).f\left(x\right)>Q\left(x\right).f\left(x\right)\) nếu \(f\left(x\right)< 0,\forall x\)

 Ví dụ 2: Giải bất phương trình \(\dfrac{x^2+x+1}{x^2+2}>\dfrac{x^2+x}{x^2+1}\).

Phân tích bài toán: Mẫu thức của hai vế bất phương trình là những biểu thức luôn dương. Nhân 2 vế của bất phương trình với 2 biểu thức luôn dương ta được bất phương trình tương đương.

Giải:

      \(\dfrac{x^2+x+1}{x^2+2}>\dfrac{x^2+x}{x^2+1}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+1\right)>\left(x^2+x\right)\left(x^2+2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^4+x^3+2x^2+x+1>x^4+x^3+2x^2+2x\)

\(\Leftrightarrow x^4+x^3+2x^2+x+1-x^4-x^3-2x^2-2x>0\)

\(\Leftrightarrow-x+1>0\)

\(\Leftrightarrow x< 1\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left(-\infty;1\right)\).

5. Bình phương

Bình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế không âm mà không làm thay đổi điều kiện của nó ta được một bất phương trình tương đương.

       \(P\left(x\right)< Q\left(x\right)\Leftrightarrow P^2\left(x\right)< Q^2\left(x\right)\) nếu \(P\left(x\right)\ge0,Q\left(x\right)\ge0,\forall x\)

Ví dụ 3: Giải bất phương trình \(\sqrt{x^2+2x+2}>\sqrt{x^2-2x+3}\).

Giải:

Hai vế của bất phương trình đều có nghĩa và dương với mọi \(x\). Bình phương hai vế của bất phương trình ta được:

     \(\sqrt{x^2+2x+2}>\sqrt{x^2-2x+3}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+2x+2}\right)^2>\left(\sqrt{x^2-2x+3}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+2>x^2-2x+3\)

\(\Leftrightarrow4x>1\)

\(\Leftrightarrow x>\dfrac{1}{4}\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x>\dfrac{1}{4}\).

6. Chú ý

- Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của một bất phương trình thì điều kiện của bất phương trình có thể bị thay đổi. Vì vậy, để tìm nghiệm của một bất phương trình ta phải tìm các giá trị của \(x\) thoả mãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới.

Ví dụ 4: Giải bất phương trình \(\dfrac{5x+2\sqrt{3-x}}{4}-1>\dfrac{x}{4}-\dfrac{4-3\sqrt{3-x}}{6}\).

Giải:

Điều kiện: \(3-x\ge0\)

Ta có: \(\dfrac{5x+2\sqrt{3-x}}{4}-1>\dfrac{x}{4}-\dfrac{4-3\sqrt{3-x}}{6}\)

      \(\Leftrightarrow\dfrac{5x}{4}+\dfrac{\sqrt{3-x}}{2}-1>\dfrac{x}{4}-\dfrac{2}{3}+\dfrac{\sqrt{3-x}}{2}\)  

     \(\Leftrightarrow\dfrac{5x}{4}+\dfrac{\sqrt{3-x}}{2}+1-\dfrac{x}{4}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{\sqrt{3-x}}{2}>0\)

    \(\Rightarrow x-\dfrac{1}{3}>0\)

Kết hợp với điều kiện \(3-x\ge0\) ta có nghiệm của bất phương trình là nghiệm của hệ \(\left\{{}\begin{matrix}3-x\ge0\\x-\dfrac{1}{3}>0\end{matrix}\right.\) 

Hệ bất phương trình trên có nghiệm \(\dfrac{1}{3}< x\le3\)

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là \(\dfrac{1}{3}< x\le3\).

- Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình \(P\left(x\right)< Q\left(x\right)\) với biểu thức \(f\left(x\right)\) ta cần lưu ý điều kiện về dấu của biểu thức \(f\left(x\right)\). Nếu \(f\left(x\right)\) nhận cả giá trị dương và giá trị âm thì ta phải xét từng trường hợp. Mỗi trường hợp dẫn đến một hệ bất phương trình.

Ví dụ 5: Giải bất phương trình \(\dfrac{1}{x-1}\ge1\).

Giải:

Điều kiện: \(x\ne1\)

Khi \(x-1< 0\) (hay \(x< 1\)) ta có \(\dfrac{1}{x-1}< 0\). Do đó mọi \(x< 1\) đều không là nghiệm của bất phương trình hay bất phương trình vô nghiệm.

Khi \(x-1>0\) (hay \(x>1\)) nhân 2 vế của bất phương trình đã cho với \(x-1\) ta được:

       \(\dfrac{1}{x-1}\ge1\) \(\Rightarrow1\ge x-1\) 

Như vậy nghiệm của bất phương trình này là nghiệm của hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x>1\\1\ge x-1\end{matrix}\right.\)

Giải hệ này ta được nghiệm \(1< x\le2\)

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là \(1< x\le2\).

- Khi giải bất phương trình \(P\left(x\right)< Q\left(x\right)\) mà phải bình phương hai vế ta lần lượt xét 2 trường hợp:

   + \(P\left(x\right),Q\left(x\right)\) cùng có giá trị không âm, ta bình phương hai vế của bất phương trình.

   + \(P\left(x\right),Q\left(x\right)\) cùng có giá trị âm ta viết \(P\left(x\right)< Q\left(x\right)\) \(\Leftrightarrow-Q\left(x\right)< -P\left(x\right)\) rồi bình phương hai vế của bất phương trình mới.

Ví dụ 6: Giải bất phương trình \(\sqrt{x^2+\dfrac{17}{4}}>x+\dfrac{1}{2}\).

Giải:

Điều kiện: \(\forall x\in R\)

Khi \(x+\dfrac{1}{2}< 0\) (tức là \(x< -\dfrac{1}{2}\)). Vế phải của bất phương trình âm, vế trái của bất phương trình dương nên trong trường hợp này mọi \(x< -\dfrac{1}{2}\) đều là nghiệm của bất phương trình.

Khi \(x+\dfrac{1}{2}\ge0\) (tức là \(x\ge-\dfrac{1}{2}\)). Bình phương hai vế của bất phương trình ta được:

            \(\sqrt{x^2+\dfrac{17}{4}}>x+\dfrac{1}{2}\) \(\Rightarrow\left(\sqrt{x^2+\dfrac{17}{4}}\right)^2>\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2\)

                                             \(\Rightarrow x^2+\dfrac{17}{4}>x^2+x+\dfrac{1}{4}\)

                                             \(\Rightarrow x< 4\)

Do đó nghiệm của bất phương trình này là nghiệm của hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-\dfrac{1}{2}\\x< 4\end{matrix}\right.\), ta được \(-\dfrac{1}{2}\le x< 4\).

Tổng hợp lại, nghiệm của bất phương trình đã cho gồm \(x< -\dfrac{1}{2}\) và \(-\dfrac{1}{2}\le x< 4\)

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \(x< 4\).