Cho ba số dương a, b, c thay đổi luôn có tổng bằng 1. Khẳng định nào trong các khẳng định sau đây đúng?
\(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge64abc\).\(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge32abc\).\(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge16abc\).\(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge8abc\).Hướng dẫn giải:Với ba số dương \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\) (thỏa mãn điều kiện \(a+b+c=1\)) thì \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=\dfrac{8}{27}\) và \(abc=\dfrac{1}{27}\) \(\Rightarrow\)\(64abc>32abc>16abc>8abc=\dfrac{8}{27}=\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\) .
Từ đó các khẳng định \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge64abc\) ; \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge32abc\) và
\(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge16abc\) đều sai. Từ đó \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge8abc\) (*) phải đúng.
Các em học sinh có thể chứng minh (*) đúng như sau:
Do \(a+b+c=1\) nên \(1-a=b+c;1-b=c+a;1-c=a+b\)
\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)\ge2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}.2\sqrt{ab}=8abc\)
