Tìm GTNN của biểu thức \(A=x^8+y^8\) khi \(x,y\) thay đổi nhưng luôn có tổng bằng 1.
\(\dfrac{1}{4}\).\(\dfrac{1}{16}\).\(\dfrac{1}{64}\).\(\dfrac{1}{128}\)Hướng dẫn giải:Theo bất đẳng thức Svac ta có \(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\) hay \(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\). Do đó
\(A=x^8+y^8\ge\dfrac{1}{2}\left(x^4+y^4\right)^2\ge\dfrac{1}{2}.\left(\dfrac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)^2\right)^2\)\(=\dfrac{1}{8}\left(x^2+y^2\right)^4\ge\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)^2\right)^4=\dfrac{1}{128}\left(x+y\right)^2=\dfrac{1}{128}\).
Khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\) thì \(x+y=1\) và \(A=\dfrac{1}{128}\) . Vậy GTNN = \(\dfrac{1}{128}\).
