Bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức sau đây sai?
\(a^2-ab+b^2\ge ab\left(\forall ab\right)\).\(b\left(a-b\right)\le a\left(a-b\right)\left(\forall ab\right)\).\(4ab\left(a-b\right)^2\le\left(a^2-b^2\right)^2\forall a,b\).\(a^3+2\le a^2+2\sqrt{a}\forall a\ge0\).Hướng dẫn giải:Dễ thấy 3 trong 4 bất đẳng thức nêu trong đề bài có thể kiểm tra ngay, cụ thể:
1) \(a^2-ab+b^2-ab=\left(a-b\right)^2\ge0\) suy ra \(a^2-ab+b^2\ge ab,\forall a,b\).
2) \(b\left(a-b\right)-a\left(a-b\right)=\left(a-b\right)\left(b-a\right)=-\left(a-b\right)^2\le0\) , suy ra \(4ab\left(a-b\right)^2\le\left(a^2-b^2\right)\forall a,b\)
3) \(4ab\left(a-b\right)^2-\left(a^2-b^2\right)^2=\left(a-b\right)^2\left(4ab-\left(a+b\right)^2\right)=\left(a-b\right)^2\left(-\left(a-b\right)^2\right)=-\left(a-b\right)^4\le0\), suy ra
\(4ab\left(a-b\right)^2\le\left(a^2-b^2\right)^2\forall a,b\).
Từ đó, bất đẳng thức còn lại phải sai. Đáp số: \(a^3+2\le a^2+2\sqrt{a}\forall a\ge0\) (*)
Chú ý: có thể chứng minh (*) sai như sau (học sinh không cần phải chứng minh như thế):
\(\left(a^3+2\right)-\left(a^2+2\sqrt{a}\right)=a^3-a^2+a-2\sqrt{a}+1-a+1\)\(=a^2\left(a-1\right)+\left(\sqrt{a}-1\right)^2-\left(a-1\right)\)
\(=\left(a-1\right)\left(a^2-1\right)+\left(\sqrt{a}-1\right)^2=\left(a-1\right)^2\left(a+1\right)+\left(\sqrt{a}-1\right)^2\ge0\) (do giả thiết \(a\ge0\)).
Suy ra \(\left(a^3+2\right)-\left(a^2+2\sqrt{a}\right)\ge0\Rightarrow a^3+2\ge a^2+2\sqrt{a}\) với mọi \(a\ge0\), từ đó bất đẳng thức
\(a^3+2\le a^2+2\sqrt{a},\forall a\ge0\) là bất đẳng thức sai,
