Trong 4 bất đẳng thức sau , bất đẳng thức nào sai?
\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\) \(,\forall a,b\).\(a^2+b^2+4\ge ab+2a+2b\) \(,\forall a,b\).\(\dfrac{a^2}{4}+b^2+c^2\ge ab-ac+2bc\)\(,\forall a,b,c\).\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}\) \(,\forall a>0,b>0\).Hướng dẫn giải:Bất đẳng thức \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}\) sai chẳng hạn với \(a=4,b=9\) (khi đó \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{4}+\sqrt{9}=5\), trong khi đó\(\sqrt{\dfrac{a^2}{b}}+\sqrt{\dfrac{b^2}{a}}=\sqrt{\dfrac{16}{9}}+\sqrt{\dfrac{81}{4}}=5,8333...\), suy ra \(\sqrt{a}+\sqrt{b}< \sqrt{\dfrac{a^2}{b}}+\sqrt{\dfrac{b^2}{a}}\) ).
Chú ý: Có thể chứng minh các bất đẳng thức còn lại đều đúng như sau (học sinh không cần làm điều này khi thu trắc nghiệm):
+ \(\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\Rightarrow a^2+b^2+1\ge ab+a+b\) .
+ \(\left(a-b\right)^2+\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2+4\ge ab+2a+2b\).
+ \(\left(\dfrac{a}{2}-b+c\right)^2\ge0\Rightarrow\dfrac{a^2}{4}+b^2+c^2\ge ab-ac+2bc\)
