a, \(f\left(x\right)=-x^2+mx+m+1\)

Để f(x) \(\le0\) \(\forall x\in R\) mà \(a=-1< 0\)

\(\Leftrightarrow\Delta\le0\) \(\Leftrightarrow\Delta=m^2+4\left(m+1\right)\le0\Leftrightarrow m^2+4m+4\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2\le0\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2=0\Leftrightarrow m=-2\)

b, Để hàm số y xác định \(\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow mx^2-2mx+2\ge0\) có nghiệm \(\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=4m^2-2.4.m\le0\\a=m>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le m\le2\\m>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow0< m\le2\)

a/ Do \(a=-1< 0\)

\(\Rightarrow\) Để \(f\left(x\right)\le0\) \(\forall x\in R\Leftrightarrow\Delta'\le0\)

\(\Leftrightarrow m^2+4\left(m+1\right)\le0\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2\le0\)

\(\Rightarrow m=-2\)

b/ Để hàm số xác định với mọi x

\(\Leftrightarrow f\left(x\right)=mx^2-2mx+2\ge0\) \(\forall x\)

- Với \(m=0\Rightarrow f\left(x\right)=2\) thỏa mãn

- Với \(m\ne0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\\Delta'=m^2-2m\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\0< m< 2\end{matrix}\right.\)

Vậy \(0\le m< 2\)

c/

Do \(a=1>0\)

Nên để BPT đã cho vô nghiệm

\(\Leftrightarrow f\left(x\right)=x^2+4x+\left(m-2\right)^2>0\) \(\forall x\)

\(\Leftrightarrow\Delta'=4-\left(m-2\right)^2< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)^2>4\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m-2>2\\m-2< -2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>4\\m< 0\end{matrix}\right.\)

d/

Do \(x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\) \(\forall x\)

\(\Rightarrow\) Để BPT nghiệm đúng với mọi x thì:

\(f\left(x\right)=\left(3m-1\right)x^2-\left(3m+1\right)x+m+4< 0\)

Ủa đề là \(\left(3m-1\right)x^2-\left(3m+1\right)x+m+4\) hay \(\left(3m-1\right)x^2-\left(3m+1\right)4x+m+4\) vậy bạn?

Lời giải: 

Với $x>1$

$f(x)=m(x^2+2x+1)-2x+3>0\Leftrightarrow m>\frac{2x-3}{(x+1)^2}$

$\Leftrightarrow m>\frac{2x-3}{(x+1)^2}(\max)$ khi $x>1$

Xét $g(x)=\frac{2x-3}{(x+1)^2}$ với $x>1$

$g(x)=\frac{2(x+1)-5}{(x+1)^2}=\frac{2}{x+1}-\frac{5}{(x+1)^2}=\frac{1}{5}-5(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{5})^2\leq \frac{1}{5}$ với mọi $x>1$

Do đó: $m>\frac{1}{5}$

1, y' = \(\dfrac{m^2-9}{\left(3x-m\right)^2}\)

ycbt <=> \(\left\{{}\begin{matrix}m^2-9< 0\\\dfrac{m}{-3}\ne x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3< m< 3\\m\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow0\le m\le3\)

\(y'=\left(m+1\right)x^2-2\left(m+1\right)x-m\)

\(m=-1\Rightarrow y'=1>0\forall x\in R\)

\(m\ne-1\Rightarrow y'>0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+1>0\\\Delta'< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}< 0\left(vl\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy với m=-1 thì...