Chương II: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ VÀ ỨNG DỤNG

4.

a, \(p=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{9}{2}\)

Ta có \(S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\dfrac{3\sqrt{15}}{4}\)

Định lí cos: \(cosA=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=-\dfrac{1}{4}\)

\(S=\dfrac{abc}{4R}=\dfrac{3\sqrt{15}}{4}\Rightarrow R=\dfrac{abc}{3\sqrt{15}}=\dfrac{8\sqrt{15}}{15}\)

b, Ta có \(\dfrac{b^3+c^3-a^3}{b+c-a}=a^2\Leftrightarrow b^3+c^3-a^3=a^2b+a^2c-a^3\)

\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)\left(b^2+c^2-bc-a^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow b^2+c^2-a^2=bc\left(1\right)\)
Khi đó: \(cotB+cotC=2cotA\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{cosB}{sinB}+\dfrac{cosC}{sinC}=2\dfrac{cosA}{sinA}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{cosB}{\dfrac{b}{a}.sinA}+\dfrac{cosC}{\dfrac{c}{a}.sinA}=2\dfrac{cosA}{sinA}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a.cosB}{b}+\dfrac{a.cosC}{c}=2cosA\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2bc}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2bc}=2.\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2a^2}{2bc}=1\)

\(\Leftrightarrow a^2=bc\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow b^2+c^2-2bc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(b-c\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow b=c\)

\(\Rightarrow a=b=c\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\) đều

Theo định lí hàm số sin:

\(\dfrac{a}{sinA}=\dfrac{b}{sinB}\Rightarrow\dfrac{sinA}{sinB}=\dfrac{a}{b}=\dfrac{2}{b}=\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow AC=b=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\)

Phương trình đường vuông góc kẻ từ M đến d là \(2x+y-6=0\)

Hình chiếu của M trên d có tọa độ là nghiệm của hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y+1=0\\2x+y-6=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{11}{5}\\y=\dfrac{8}{5}\end{matrix}\right.\)

Phương trình đường thẳng vuông góc kẻ từ M đến d là \(2x+y-2=0\)

Hình chiếu của M có tọa độ là nghiệm hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y+1=0\\2x+y-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{5}\\y=\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}+3}{2}$

Theo công thức Heron:

$S_{ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp:

$R=\frac{AB.BC.AC}{4S}=\sqrt{2}$ (đvđd)

B

Đáp án B nha

Chọn B nhé bạn

Áp dụng định lý hàm cos ta có \(CA^2=AB^2+BC^2-2AB.BC.cos\widehat{ABC}=2^2+3^2-2.2.3.cos\widehat{60o}=4+9-6=7\Rightarrow CA=\sqrt{7}\).

\(P_{ABC}=AB+BC+CA=2+3+\sqrt{7}=5+\sqrt{7}\). (đvđd)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.BC.sin\widehat{ABC}=\dfrac{1}{2}.2.3.sin60^o=\dfrac{1}{2}.6.\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\). (đvdt)

1.

Gọi $L$ là giao $BM, CN$ thì $L$ là trọng tâm tam giác $ABC$.

Áp dụng công thức đường trung tuyến:

$BM^2=\frac{c^2+a^2}{2}-\frac{b^2}{4}$

$CN^2=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}$$BL^2=\frac{4}{9}BM^2=\frac{2}{9}(c^2+a^2)-\frac{1}{9}b^2$

$NL^2=\frac{1}{9}CN^2=\frac{1}{18}(a^2+b^2)-\frac{1}{36}c^2$

Theo cong thức Pitago:

$BN^2=BL^2+NL^2$

$\Rightarrow \frac{c^2}{4}=\frac{2}{9}(c^2+a^2)-\frac{1}{9}b^2+\frac{1}{18}(a^2+b^2)-\frac{1}{36}c^2$

$\Rightarrow $5a^2=b^2+c^2$ hay $b^2+c^2=45$

Áp dụng công thức cos:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=b^2+c^2-\sqrt{3}bc$

$\Rightarrow 9=45-\sqrt{3}bc\Rightarrow bc=12\sqrt{3}$

$S_{ABC}=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}.12\sqrt{3}.\sin 30=3\sqrt{3}$

Đáp án A.

$b=

2.

\(R_{ABC}=\frac{abc}{4S_{ABC}}=\frac{3bc}{4S}=\frac{3.12\sqrt{3}}{4.3\sqrt{3}}=3\)

Đáp án B.

Đề bài hỏi gì vậy em?