Cho a,b>0 a+2b=1 Chứng minh rằng
1/8ab + 2ab/a^2+b^2 > 3/2
LL
Những câu hỏi liên quan
Cho a,b>0 và a + 2b = 1. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{8ab}+\frac{2ab}{a^2+4b^2}\ge\frac{3}{2}\)
\(A=\frac{2ab}{4ab}+\frac{2ab}{a^2+4b^2}+\frac{1}{8ab}-\frac{1}{2}\)
áp dụng bđt AM-GM , a,b> 0
\(\Rightarrow A\ge2ab\left(\frac{4}{4ab+a^2+4b^2}\right)+\frac{1}{8ab}-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{8ab}{1}+\frac{1}{8ab}-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow A\ge2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a>0, b>0, a + 2b = 1. Chứng minh
1÷8ab + 2ab ÷ a2 + 4b2 >= 3÷2
Bài 1: Cho a, b cùng dấu. Chứng minh rằng: left(frac{a^2+b^2}{2}right)^3leleft(frac{a^3+b^3}{2}right)^2Bài 2: Cho a^2+b^2ne0. Chứng minh rằng: frac{2ab}{a^2+4b^2}+frac{b^2}{3a^2+2b^2}lefrac{3}{5}Bài 3: Cho a, b 0. Chứng minh rằng: frac{a}{b^2}+frac{b}{a^2}+frac{16}{a+b}ge5left(frac{1}{a}+frac{1}{b}right)Bài 4: Cho a, b0. Chứng minh rằng: frac{3a^2+2ab+3b^2}{a+b}ge2sqrt{2left(a^2+b^2right)}
Đọc tiếp
Bài 1: Cho a, b cùng dấu. Chứng minh rằng: \(\left(\frac{a^2+b^2}{2}\right)^3\le\left(\frac{a^3+b^3}{2}\right)^2\)
Bài 2: Cho \(a^2+b^2\ne0\). Chứng minh rằng: \(\frac{2ab}{a^2+4b^2}+\frac{b^2}{3a^2+2b^2}\le\frac{3}{5}\)
Bài 3: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: \(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}+\frac{16}{a+b}\ge5\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Bài 4: Cho a, b>0. Chứng minh rằng: \(\frac{3a^2+2ab+3b^2}{a+b}\ge2\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
Cho a,b là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện \(a+b^2=2ab^2\) . Chứng minh rằng
\(\dfrac{1}{a^4+b^4+2ab^4}+\dfrac{1}{a^2+b^8+2a^2b^2}\) ≥ \(\dfrac{1}{2}\)
Dấu BĐT bị ngược, sửa đề: \(\dfrac{1}{a^4+b^4+2ab^4}+\dfrac{1}{a^2+b^4+2a^2b^2}\le\dfrac{1}{2}\).
Đặt \(b^2=x\left(x>0\right)\Rightarrow a+x=2ax\).
Khi đó ta cần chứng minh:
\(\dfrac{1}{a^4+x^2+2ax^2}+\dfrac{1}{a^2+x^4+2a^2x}\le\dfrac{1}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\dfrac{1}{a^4+x^2+2ax^2}+\dfrac{1}{a^2+x^4+2a^2x}\)
\(\le\dfrac{1}{2a^2x+2ax^2}+\dfrac{1}{2ax^2+2a^2x}\)
\(=\dfrac{2}{2ax\left(a+x\right)}\)
\(=\dfrac{1}{ax\left(a+x\right)}\)
\(=\dfrac{1}{2a^2x^2}\)
Ta thấy: \(a+x\ge2\sqrt{ax}\)
\(\Leftrightarrow2ax\ge2\sqrt{ax}\)
\(\Leftrightarrow ax-\sqrt{ax}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ax}\left(\sqrt{ax}-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ax}\ge1\)
\(\Rightarrow ax\ge1\)
Khi đó: \(\dfrac{1}{2a^2x^2}\le\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^4+x^2+2ax^2}+\dfrac{1}{a^2+x^4+2a^2x}\le\dfrac{1}{2}\)
Hay \(\dfrac{1}{a^4+b^4+2ab^4}+\dfrac{1}{a^2+b^4+2a^2b^2}\le\dfrac{1}{2}\).
Đúng 2
Bình luận (0)
Bài 1: Chứng minh rằng :
cho ab=2;a+b=-3 tính giá trị biểu thức a^3 + b^3
Bài 2: rút gọn:
a, 2(x-y)×(x+y)+(x+y)^2(x-y)^2
b, x(x+4)×(x-4)-(x^2+1)×(x^2-1)
c, (a+b-c)-(a-c)^2-2ab+2ab
Bài 2:
b: Ta có: \(x\left(x+4\right)\left(x-4\right)-\left(x^2+1\right)\left(x^2-1\right)\)
\(=x^3-4x-x^4+1\)
\(=-x^4+x^3-4x+1\)
c: Ta có: \(\left(a+b-c\right)^2-\left(a-c\right)^2-2ab+2ab\)
\(=\left(a+b-c-a+c\right)\left(a+b-c+a-c\right)\)
\(=b\left(2a+b-2c\right)\)
\(=2ab+b^2-2bc\)
Đúng 1
Bình luận (0)
\(a + b = -3\)
\(ab = 2\)
Từ \(ab = 2\), ta có thể giải ra được \(a = \frac{2}{b}\) hoặc \(b = \frac{2}{a}\).
Đặt \(a = \frac{2}{b}\) vào \(a + b = -3\) ta được:
\(\frac{2}{b} + b = -3\)
\(2 + b^2 = -3b\)
\(b^2 + 3b + 2 = 0\)
\((b + 1)(b + 2) = 0\)
\(b = -1\) hoặc \(b = -2\).
Khi \(b = -1\), ta có \(a = -2\). Khi \(b = -2\), ta có \(a = -1\).
Vậy giá trị của biểu thức \(A = a^3 + b^3\) khi \(a = -2, b = -1\) hoặc khi \(a = -1, b = -2\).
Đúng 0
Bình luận (0)
a)Chứng minh rằng với mọi a và b thì
a^4 - 2a^3b+2a^2b^2 - 2ab^3+ b^4 lớn hơn hoăc bằng 0
b) Cho a^2 = b^2+c^2. Chứng minh rằng (5a - 3b+ 4c)(5a - 3b - 4c) lớn hơn hoặc bằng 0
với a,b,c ≥ 0 và a+b+c=3. chứng minh rằng:
(1) a/a+2bc+b/b+2ac+c/c+2ab ≥1 (2)a/2a+bc+b/2b+ac+c/2c+ab ≤ 1
Cho a, b: \(2a^2+5b^2+2ab=1\)
Chứng minh: \(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\le\dfrac{a-b}{a+2b+2}\le\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
\(2a^2+5b^2+2ab=1\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a+2b\right)^2=1\)
Đặt \(P=\dfrac{a-b}{a+2b+2}\Rightarrow P\left(a+2b\right)+2P=a-b\)
\(\Rightarrow2P=\left(a-b\right)-P\left(a+2b\right)\)
\(\Rightarrow4P^2=\left[\left(a-b\right)-P\left(a+2b\right)\right]^2\le\left(P^2+1\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(a+2b\right)^2\right]=P^2+1\)
\(\Rightarrow3P^2\le1\Rightarrow-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\le P\le\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
Đúng 1
Bình luận (0)
Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn
a^2+2ab+2b^2-2b=8
a)Chứng minh rằng :0<a+b<=3 (<= là bé hơn hoặc bằng)
b)tìm GTNN của biểu thức P=a+b+8/a+2/b