a: PN=10cm

b: Xét ΔPMK vuông tại M và ΔPEK vuông tại E có

PK chung

\(\widehat{MPK}=\widehat{EPK}\)

Do đó: ΔPMK=ΔPEK

c: Xét ΔMKD vuông tại M và ΔEKN vuông tại E có

KM=KE

\(\widehat{MKD}=\widehat{EKN}\)

DO đó: ΔMKD=ΔEKN

Suy ra: KD=KN

d: Ta có: PM+MD=PD

PE+EN=PN

mà PM=PE

và MD=EN

nên PD=PN

hayΔPDN cân tại P

Xét `\Delta PMI` và `\Delta PHI`:

`\text {PH = PM (gt)}`

$\widehat {MPI} = \widehat {HPI} (\text {tia phân giác} \widehat {MPN}$

`\text { PI chung}`

`=> \Delta PMI = \Delta PHI (c-g-c)`

`-> \text {IM = IH (2 cạnh tương ứng)}`

Xét tam giác MNA và tam giác MPN ta có : 

^M _ chung 

\(\frac{MN}{MP}=\frac{MA}{MN}=\frac{6}{9}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)

Vậy tam giác MNA ~ tam giác MPN  ( c.g.c )

=> ^MNA = ^MPN ( 2 góc tương ứng )

a) Xét \(\Delta MNK\left(\widehat{M}=90^o\right)\) và \(\Delta QNK\left(\widehat{Q}=90^o\right)\) có:

\(\widehat{MNK}=\widehat{QNK}\) (giả thiết)

\(NK\) là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta MNK=\Delta QNK\left(ch.gn\right)\)

b) Vì \(\Delta MNK=\Delta QNK\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow MN=QN\) (\(2\) cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow\Delta MNQ\) cân tại \(N\)

Mà \(\widehat{MNQ}=60^o\)

\(\Rightarrow\Delta MNQ\) đều

Vì \(NK\) là tia phân giác \(\widehat{MNP}\) (giả thiết)

\(\Rightarrow\widehat{MNK}=\widehat{QNK}=\dfrac{\widehat{MNP}}{2}=\dfrac{60^o}{2}=30^o=\widehat{NPK}\)

\(\Rightarrow\Delta NKP\) cân tại \(K\)

c) Vì \(\Delta NMQ\) đều (chứng minh trên)

\(\Rightarrow NM=MQ=NQ=8cm\)

Xét \(\Delta NMP\left(\widehat{M}=90^o\right)\) có:

\(PN=2MN=2.8=16cm\)

\(\Rightarrow PQ=16-8=8cm\)

a: Xét ΔMNK vuông tại M và ΔQNK vuông tại Q có

NK chung

\(\widehat{MNK}=\widehat{QNK}\)

Do đó: ΔMNK=ΔQNK

b: Ta có: ΔMNK=ΔQNK

nên NM=NQ

=>ΔNMQ cân tại N

mà \(\widehat{MNQ}=60^0\)

nên ΔMNQ đều

Xét ΔNKQ có 

\(\widehat{KPN}=\widehat{KNP}\)

nên ΔNKQ cân tại K

c: Xét ΔMNP vuông tại M có 

\(\cos N=\dfrac{MN}{NP}\)

=>NP=16(cm)

=>\(MP=8\sqrt{3}\left(cm\right)\)

ai giup minh voi di