1.

- Với \(x\ge\frac{1}{2}\Rightarrow2x-1\le x+2\Rightarrow x\le3\Rightarrow\frac{1}{2}\le x\le3\)

- Với \(x< \frac{1}{2}\Rightarrow1-2x\le x+2\Rightarrow3x\ge-1\Rightarrow x\ge-\frac{1}{3}\)

Vậy nghiệm của BPT là \(-\frac{1}{3}\le x\le3\)

2.

Để pt có 2 nghiệm trái dấu

\(\Leftrightarrow ac< 0\Leftrightarrow\left(m+2\right)\left(2m-3\right)< 0\Rightarrow-2< m< \frac{3}{2}\)

3.

\(5x-1>\frac{2x}{5}+3\Leftrightarrow5x-\frac{2x}{5}>4\Leftrightarrow\frac{23}{5}x>4\Rightarrow x>\frac{20}{23}\)

4.

\(4x^2+4x+1-3x+9>4x^2+10\)

\(\Leftrightarrow x>0\)

5.

\(1< \frac{1}{1-x}\Leftrightarrow\frac{1}{1-x}-1>0\Leftrightarrow\frac{x}{1-x}>0\Rightarrow0< x< 1\)

6.

\(\frac{\left(x-5\right)^2\left(x-3\right)}{x+1}\le0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\-1< x\le3\end{matrix}\right.\)

=>(x1-1)[x2^2-x2(x1+x2-1)+x1x2+1]=-3

=>(x1-1)[-x1x2+x2+x1x2+1]=-3

=>(x1-1)(x2+1)=-3

=>x1x2+(x1-x2)-1=-3

=>(x1-x2)=-3+1-x1x2=-2-m+5=-m+3

=>(x1+x2)^2-4x1x2=m^2-6m+9

=>4^2-4(m-5)=m^2-6m+9

=>4m-20=16-m^2+6m-9=-m^2+6m+7

=>4m-20+m^2-6m-7=0

=>m^2-2m-27=0

=>\(m=1\pm2\sqrt{7}\)

a) Ta có: \(\Delta=\left(-4\right)^2-4\cdot1\cdot\left(2m-3\right)=16-4\left(2m-3\right)\)

\(\Leftrightarrow\Delta=16-8m+12=-8m+28\)

Để phương trình có hai nghiệm x1;x2 phân biệt thì \(-8m+28>0\)

\(\Leftrightarrow-8m>-28\)

hay \(m< \dfrac{7}{2}\)

Với \(m< \dfrac{7}{2}\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1;x2

nên Áp dụng hệ thức Viet, ta có: 

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-\left(-4\right)}{1}=4\\x_1\cdot x_2=\dfrac{2m-3}{1}=2m-3\end{matrix}\right.\)

Để phương trình có hai nghiệm x1,x2 phân biệt thỏa mãn tổng 2 nghiệm và tích hai nghiệm là hai số đối nhau thì 

\(\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{7}{2}\\4+2m-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{7}{2}\\2m+1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{7}{2}\\2m=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{7}{2}\\m=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{2}\)

Vậy: Khi \(m=-\dfrac{1}{2}\) thì phương trình có hai nghiệm x1,x2 phân biệt thỏa mãn tổng 2 nghiệm và tích hai nghiệm là hai số đối nhau

Trường hợp 1: m=0

Bất phương trình trở thành:

\(-2\cdot\left(0-2\right)x+0-3>0\)

=>4x-3>0

hay x>3/4

=>Nhận trường hợp m=0

Trường hợp 2: m<>0

\(\text{Δ}=\left(2m-4\right)^2-4m\left(m-3\right)\)

\(=4m^2-16m+16-4m^2+12m\)

=-4m+16

Để phương trình có nghiệm thì \(\left\{{}\begin{matrix}-4m+16< 0\\m>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m>4\)

Vậy: m>4

Với \(m=0\) thỏa mãn

Với \(m\ne0\) BPT vô nghiệm khi: \(mx^2-2\left(m-2\right)x+m-3\le0\) nghiệm đúng với mọi x

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\\Delta'=\left(m-2\right)^2-m\left(m-3\right)\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\-m+4\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\m\ge4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) không tồn tại m để BPT đã cho vô nghiệm

\(\Rightarrow\) BPT đã cho có nghiệm với mọi m

Đặt \(x^2+4x+3=t\left(t\ge-1\right)\)

\(\left(x^2+4x+3\right)\left(x^2+4x+6\right)\ge m,\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+4x+3\right)^2+3\left(x^2+4x+3\right)\ge m,\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow m\le f\left(t\right)=t^2+3t,\forall x\in R\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi:

\(m\le minf\left(t\right)=-2\)