\(\Delta=\left(m-1\right)^2+8\left(m+1\right)=\left(m+3\right)^2\ge0;\forall x\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{m-1}{2}\\x_1x_2=-\dfrac{m+1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}=\dfrac{25}{16}\Leftrightarrow\dfrac{x_1^2+x_2^2}{\left(x_1x_2\right)^2}=\dfrac{25}{16}\)

\(\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\dfrac{25}{16}\left(x_1x_2\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{m-1}{2}\right)^2+\dfrac{2\left(m+1\right)}{2}=\dfrac{25}{16}\left(\dfrac{m+1}{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow9m^2+18m-55=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{5}{3}\\m=-\dfrac{11}{3}\end{matrix}\right.\)

Phương trình có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\Leftrightarrow1-m\ge0\Leftrightarrow m\le1\)

Theo hệ thức Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\) (1)

Ta có: \(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}=1\Leftrightarrow\dfrac{x^2_1+x^2_2}{x^2_1x^2_2}=1\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{\left(x_1x_2\right)^2}=1\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow4-2m=m^2\Leftrightarrow m^2+2m-4=0\)

\(\Delta'=1+4=5\Rightarrow\sqrt{\Delta'}=\sqrt{5}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1+\sqrt{5}\left(\text{loại}\right)\\m=-1-\sqrt{5}\left(\text{nhận}\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m=-1-\sqrt{5}\)

a, b bạn tự giải

c. \(\Delta=m^2+4>0;\forall m\Rightarrow\) pt luôn có nghiệm

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=-1\end{matrix}\right.\)

Ồ, đề câu d bạn ghi sai, 2 mẫu số phải có 1 cái là \(x_1\)

1.

\(4x^3-6x^2+m=0\Leftrightarrow4x^3-6x^2=-m\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=4x^3-6x^2\)

\(f'\left(x\right)=12x^2-12x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\)

BBT:

Từ BBT ta thấy đường thẳng \(y=-m\) cắt \(y=4x^3-6x^2\) tại 3 điểm pb khi:

\(-2< -m< 0\Leftrightarrow0< m< 2\)

2.

Pt hoành độ giao điểm:

\(\dfrac{x-3}{x+1}=x+m\)

\(\Rightarrow x-3=\left(x+m\right)\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+mx+m+3=0\) (1)

Đường thẳng cắt đồ thị tại 2 điểm pb khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm pb

\(\Leftrightarrow\Delta=m^2-4\left(m+3\right)>0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>6\\m< -2\end{matrix}\right.\)

3.

Pt hoành độ giao điểm:

\(\dfrac{x+1}{x-1}=-2x+m\)

\(\Leftrightarrow x+1=\left(x-1\right)\left(-2x+m\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^2-\left(m+1\right)x+m+1=0\) (1)

bài toán thỏa mãn khi (1) có 2 nghiệm pb

\(\Leftrightarrow\Delta=\left(m+1\right)^2-8\left(m+1\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(m-7\right)>0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>7\\m< -1\end{matrix}\right.\)

Đề sai rồi bạn

1.

Đặt \(x^2-2x+m=t\), phương trình trở thành \(t^2-2t+m=x\)

Ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-2x+m=t\\t^2-2t+m=x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x-t\right)\left(x+t-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=t\\x=1-t\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=x^2-2x+m\\x=1-x^2+2x-m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-x^2+3x\\m=-x^2+x+1\end{matrix}\right.\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(y=-x^2+x+1\) và \(y=-x^2+3x\):

\(-x^2+x+1=-x^2+3x\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=\dfrac{5}{4}\)

Đồ thị hàm số \(y=-x^2+3x\) và \(y=-x^2+x+1\): 

Dựa vào đồ thị, yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(m< \dfrac{5}{4}\)

Mà \(m\in\left[-10;10\right]\Rightarrow m\in[-10;\dfrac{5}{4})\)

\(\text{Δ}=\left[-2\left(m+1\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(m-4\right)\)

\(=4\left(m^2+2m+1\right)-4\left(m-4\right)\)

\(=4m^2+8m+4-4m+16\)

\(=4m^2+4m+20=\left(2m+1\right)^2+19>0\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m+1\right)\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=m-4\end{matrix}\right.\)

Để Phương trình có hai nghiệm đều dương thì

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2>0\\x_1x_2>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(m+1\right)>0\\m-4>0\end{matrix}\right.\)

=>\(m>4\)

\(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=6\)

=>\(\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=6\)

=>\(\dfrac{2\left(m+1\right)}{m-4}=6\)

=>6(m-4)=2(m+1)

=>3(m-4)=m+1

=>3m-12=m+1

=>2m=13

=>\(m=\dfrac{13}{2}\left(nhận\right)\)

\(\left(x-\dfrac{2}{x}\right)^2-4\left(x-\dfrac{2}{x}\right)+m+3=0\)

Đặt \(x-\dfrac{2}{x}=t\) (1)

\(\Rightarrow t^2-4t+3+m=0\) (2) \(\Leftrightarrow t^2-4t+3=-m\)

Xét (1) \(\Leftrightarrow x^2-t.x-2=0\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=t\\x_1x_2=-2\end{matrix}\right.\)

Do \(-2< 0\) nên nếu (1) có nghiệm nó sẽ luôn có 2 nghiệm trái dấu, do đó pt đã cho có tối đa 2 nghiệm dương

\(f\left(1\right)=-t-1=0\Rightarrow t=-1\)

\(\Rightarrow\) Bài toán thỏa mãn khi \(\left(2\right)\) có 2 nghiệm pb thỏa mãn \(t_1>t_2>-1\) 

Xét hàm \(f\left(t\right)=t^2-4t+3\) với \(t>-1\)

\(f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)=f\left(2\right)=-1\) ; \(f\left(-1\right)=8\)

\(\Rightarrow\) \(-1< -m< 8\Leftrightarrow-8< m< 1\)