Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là \(x^2=2x-m\Leftrightarrow x^2-2x+m=0\) (*)

Pt (*) có \(\Delta'=\left(-1\right)^2-1.m=1-m\)

Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt \(x_1,x_2\) thì pt (*) phải có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) \(\Leftrightarrow\Delta'>0\Leftrightarrow1-m>0\Leftrightarrow m< 1\)

Khi \(m< 1\), áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}y_1=x_1^2\\y_2=x_2^2\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow y_1+y_2=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=2^2-2m=4-2m\)

Do đó để \(y_1+y_2+x_1^2x_2^2=6\left(x_1+x_2\right)\)\(\Leftrightarrow4-2m+m^2=6.2\)\(\Leftrightarrow m^2-2m-8=0\) (1)

pt (1) có \(\Delta'=\left(-1\right)^2-1.\left(-8\right)=9>0\)

Vậy (1) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[{}\begin{matrix}m_1=\dfrac{-\left(-1\right)+\sqrt{9}}{1}=4\\m_2=\dfrac{-\left(-1\right)-\sqrt{9}}{1}=-2\end{matrix}\right.\)

Như vậy để (d) cắt (P) tại 2 điểm có hoành độ và tung độ thỏa mãn yêu cầu đề bài thì \(\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=-2\end{matrix}\right.\)

Mà do \(m< 1\) nên ta chỉ nhận trường hợp \(m=-2\)

Vậy để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ và tung độ thỏa mãn đề bài thì \(m=-2\)

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left(d\right)$ và $\left(P\right)$ là:

$x^2=2x-m\iff x^2-2x+m=0$ (1)

Ta có: ${\Delta }^{{}^{}}=1-m$.

Điều kiện để $\left(d\right)$ cắt $\left(P\right)$ tại hai điểm phân biệt là phương trình hoành độ giao điểm của $\left(d\right)$ và $\left(P\right)$ có hai nghiệm phân biệt.

Suy ra $1-m>0\iff m<1$ (*).

Khi đó $x_1$, $x_2$ là các hoành độ giao điểm của $\left(d\right)$ và $\left(P\right)$ nên $x_1$, $x_2$ là các nghiệm của phương trình hoành độ của $\left(d\right)$ và $\left(P\right)$.

Theo hệ thức Vi-et ta có: 

\(1.pt:x^2-4x+m-3=0\)

\(\Delta=\left(-4\right)^2-4.1.\left(m-3\right)=28-4m\)

Để pt trên có nghiệm thì \(28-4m\ge0\Leftrightarrow-4m\ge-28\Leftrightarrow m\le7\)

Với các giá trị \(m\le7\) thì pt trên có nghiệm ( có nghiệm kép hoặc 2 nghiệm phân biệt)

\(2.\left\{{}\begin{matrix}\left(P\right):y=\frac{1}{2}x^2\\\left(d\right):y=2x-m\end{matrix}\right.\)

Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hpt:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=\frac{1}{2}x^2\\y=2x-m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\frac{1}{2}x^2-2x+m=0\left(\alpha\right)\)

Xét \(pt\left(\alpha\right):\Delta=\left(-2\right)^2-\frac{4.1}{2}.m=4-2m\)

a. Để \(\left(P\right)tx\left(d\right)\) thì \(\Delta=0\Leftrightarrow4-2m=0\Leftrightarrow m=2\)

b. Để (P) cắt (d) tại 2 điểm phần biệt thì \(\Delta>0\Leftrightarrow4-2m>0\Leftrightarrow m< 2\)

c. Để (P) và (d) không có điểm chung thì \(\Delta< 0\Leftrightarrow4-2m< 0\Leftrightarrow m>2\)

sai đề rồi bạn (P) phải là y = x^2 chứ

a) Hoành độ giao điểm của (P) và (d) thỏa mãn phương trình:

\(x^2=2\left(1-m\right)x+3\\ \Leftrightarrow x^2-2\left(1-m\right)x-3=0\)

\(\Delta'=\left(1-m\right)^2+3>0\forall m\)

=> Phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

=> (P) và (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt

b) Để (P) và (d) cắt nhau tại điểm có tung độ bằng 1.

Vì (P): \(y=x^2\). Mà tung độ y = 1

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)

\(\cdot x=1;y=1\Rightarrow1=2\left(1-m\right).1+3\\ \Leftrightarrow1=2-2m+3\\ \Leftrightarrow2m=4\\ \Leftrightarrow m=2\)

\(\cdot x=-1;y=1\Rightarrow1=2\left(1-m\right).\left(-1\right)+3\\ \Leftrightarrow1=2\left(m-1\right)+3\\ \Leftrightarrow2m+1=1\\ \Leftrightarrow m=0\)

Vậy \(\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=0\end{matrix}\right.\)

a) Xét phương trình hoành độ: x² = 2(1-m)x + 3

⇔ x² + 2(m-1) - 3 = 0

△' = (m-1)² + 3

Vì (m-1)² ≥ 0 nên (m-1)² + 3 > 0 ∀ m ∈ R

Do đó △' > 0

⇒ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Vậy (P) và (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt

b) Để 2 đồ thị cắt nhau tại điểm có tung độ y = 1

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2=1\\2\left(1-m\right)x+3=1\end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\\\left(1-m\right)x+1=0\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}1-m+1=0\\m-1+1=0\end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=0\end{matrix}\right.\)

Vậy m = 2 hoặc m = 0

x2 = 5x1 <=> x2 + x1 = 6x1 <=> x1 = (x1 + x2)/6

(theo vi ét thì x1 + x2 bằng gì đó, thay vào)

tiếp theo thay x1 tìm được theo m vừa rồi vào tích x1* x2. rồi giải pt đó. hiểu ko?