Xét Parabol \(\left(P\right):y=x^2\)

và đường thẳng \(\left(d\right):y=\left(2m-1\right)x-m+2\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(P\right)\) và \(\left(d\right)\) ta có :

\(x^2=\left(2m-1\right)x-m+2\)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(2m-1\right)x+m-2=0\)

\(\left(a=1;b=-\left(2m-1\right);c=m-2\right)\)

Ta có :

\(\Delta=b^2-4ac\)

\(=\left(-\left(2m-1\right)\right)^2-4.1.\left(m-2\right)\)

\(=4m^2-4m+1-4m+8\)

\(=4m^2-8m+9\)

\(=4\left(m^2-2m+1\right)+5\)

\(=4\left(m-1\right)^2+5>0\forall m\)

\(\Leftrightarrow\Delta>0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(P\right)\) và \(\left(d\right)\) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt \(\left(đpcm\right)\)

Bài 2 hình như sai đề thì phải

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình: 

x^2 = 2x - n + 3 

<=> x^2 - 2x + n - 3 = 0  (1)

có: \(\Delta'=1^2-\left(n-3\right)=4-n\)

(P) cắt (d) <=> (1) có nghiệm <=> \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow n\le4\)(@)

Áp dụng định lí viet ta có: x1 . x2 = n - 2 (2) ; x1 + x2 = 2(3)

Theo bài ra ta có: \(x_1^2-2x_2+x_1x_2=16\)

<=> \(2x_1-n+3-2x_2+x_1x_2=16\)

<=> \(2x_1-n+3-2x_2+n-3=16\)

<=> \(x_1-x_2=8\)(4) 

Từ (3); (4) => x1 = 5; x2 = -3

Thế vào (2) ta có: 5.(-3) = n - 3 <=> n = -12 

Thiếu:

n = - 12 ( thỏa mãn điều kiện @) 

Vậy n = - 12.

1: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2-kx+k-2=0\)

\(\text{Δ}=\left(-k\right)^2-4\left(k-2\right)\)

\(=k^2-4k+8=\left(k-2\right)^2+4>0\)

Do đó: (P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt

2: Theo đề, ta có; \(x_1^2+x_2^2+x_1^2+x_2^2=14\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=7\)

\(\Leftrightarrow k^2-2\left(k-2\right)=7\)

\(\Leftrightarrow k^2-2k-3=0\)

=>(k-3)(k+1)=0

=>k=3 hoặc k=-1