Giả sử d có 1 vtpt là \(\left(a;b\right)\) với \(a^2+b^2\ne0\)

\(cos45^0=\frac{\left|a.2+b.\left(-1\right)\right|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{2^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow2\left(2a-b\right)^2=5a^2+5b^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(4a^2-4ab+b^2\right)=5a^2+5b^2\)

\(\Leftrightarrow3a^2-8ab-3b^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-3b\right)\left(3a+b\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=3b\\b=-3a\end{matrix}\right.\)

Chọn \(\left(a;b\right)=\left[{}\begin{matrix}\left(3;1\right)\\\left(1;-3\right)\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường thẳng thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}3\left(x-1\right)+1\left(y-1\right)=0\\1\left(x-1\right)-3\left(y-1\right)=0\end{matrix}\right.\)

Gọi \(A\left(a;1-a\right)\) ; \(B\left(b;2b-1\right)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=\left(a-1;2-a\right)\\\overrightarrow{MB}=\left(b-1;2b\right)\end{matrix}\right.\)

\(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=0\Leftrightarrow\left(2a-2;4-2a\right)+\left(b-1;2b\right)=\left(0;0\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a-2+b-1=0\\4-2a+2b=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a+b=3\\-2a+2b=-4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{5}{3}\\b=-\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A\left(\frac{5}{3};-\frac{2}{3}\right);B\left(-\frac{1}{3};-\frac{5}{3}\right)\) \(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(2;1\right)\)

Phương trình AB:

\(1\left(x-\frac{5}{3}\right)-2\left(y+\frac{2}{3}\right)=0\Leftrightarrow x-2y-3=0\)

Đường tròn (C) tâm \(I\left(-1;2\right)\) bán kính \(R=\sqrt{\left(-1\right)^2+2^2+4}=3\)

Áp dụng định lý Pitago:

\(d\left(I;d\right)=\sqrt{R^2-\left(\frac{6}{2}\right)^2}=0\)

\(\Rightarrow d\) đi qua I

d vuông góc \(\Delta\) nên d nhận \(\left(1;2\right)\) là 1 vtpt

Phương trình d:

\(1\left(x+1\right)+2\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x+2y-3=0\)

Do C thuộc d nên tọa độ C có dạng \(C\left(c;2c+3\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AC}=\left(c+1;2c+1\right)\\\overrightarrow{BC}=\left(c+3;2c+1\right)\end{matrix}\right.\)

\(AC=BC\Leftrightarrow\left(c+1\right)^2+\left(2c+1\right)^2=\left(c+3\right)^2+\left(2c+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2c+1=6c+9\Rightarrow c=-2\)

\(\Rightarrow C\left(-2;-1\right)\)

\(d_1\) nhận \(\left(2;-m\right)\) là 1 vtpt

\(d_2\) nhận \(\left(-1;3\right)\) là 1 vtcp nên nhận \(\left(3;1\right)\) là 1 vtpt

Để 2 đường thẳng vuông góc

\(\Leftrightarrow2.\left(-1\right)+\left(-m\right).3=0\Rightarrow m=-\frac{2}{3}\)

(3):

a: =>căn 2x-3=x-3

=>x>=3 và x^2-6x+9=2x-3

=>x>=3 và x^2-8x+12=0

=>x=6

b: =>x>=-1 và 2x^2+mx-3=x^2+2x+1

=>x>=-1 và x^2+(m-2)x-4=0

=>với mọi m thì pt luôn có hai nghiệm phân biệt lớn hơn -1 vì a*c<0

Gọi tâm \(I\left(-3a-8;a\right)\Rightarrow\overrightarrow{IA}=\left(3a+6;1-a\right)\)

\(d\left(I;d'\right)=\frac{\left|3\left(-3a-8\right)-4a+10\right|}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}}=\frac{\left|13a+14\right|}{5}\)

(C) qua A và tiếp xúc d' \(\Leftrightarrow IA=d\left(I;d'\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(3a+6\right)^2+\left(1-a\right)^2=\frac{\left(13a+14\right)^2}{25}\)

\(\Leftrightarrow a^2+6a+9=0\Rightarrow a=-3\)

\(\Rightarrow I\left(1;-3\right)\Rightarrow R=IA=5\)

Pt đường tròn: \(\left(x-1\right)^2+\left(y+3\right)^2=25\)