a) ax^2 + bx + c = 0 Để phương trình thỏa mãn điều kiện có 2 nghiệm dương phân biệt. ∆ > 0 => b^2 - 4ac > 0 x1 + x2 = -b/a > 0 => b và a trái dấu x1.x2 = c/a > 0 => c và a cùng dấu Từ đó ta xét phương trình cx^2 + bx^2 + a = 0 ∆ = b^2 - 4ac >0 x3 + x4 = -b/c, vì a và c cùng dấu mà b và a trái dấu nên b và c trái dấu , vì vậy -b/c >0 x3.x4 = a/c, vì a và c cùng dấu nên a/c > 0 => phương trình cx^2 + cx + a có 2 nghiệm dương phân biệt x3 và x4 Vậy nếu phương trình ax^2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt thì phương trình cx^2 + bx + a = 0 cũng có 2 nghiệm dương phân biệt. b) Ta có, vì x1, x2, x3, x4 không âm, dùng cô si. x1 + x2 ≥ 2√( x1.x2 ) x3 + x4 ≥ 2√( x3x4 ) => x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 2[ √( x1.x2 ) + √( x3x4 ) ] (#) Tiếp tục côsi cho 2 số không âm ta có √( x1.x2 ) + √( x3x4 ) ≥ 2√[√( x1.x2 )( x3.x4 ) ] (##) Theo a ta có x1.x2 = c/a x3.x4 = a/c => ( x1.x2 )( x3.x4 ) = 1 => 2√[√( x1.x2 )( x3.x4 ) ] = 2 Từ (#) và (##) ta có x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 4

Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm : 

- Xét hàm số: f ( x ) = 2 x 3 - 5 x 2 + x + 1  là hàm đa thức.

⇒ Hàm số f liên tục trên R.

- Ta có:

 có ít nhất một nghiệm c1 ∈ (0;1).

 có ít nhất một nghiệm c2 ∈ (2;3).

- Mà c   ≠   c 2  nên PT f(x) = 0 có ít nhất 2 nghiệm.

Giải:

Tập xác định của phương trình

              x\(\varepsilon\)   (\(\infty\);\(\infty\)

Đặt f(x) = ax2 + bx + c

- Xét hàm số   f ( x )   = x 3 + x - 1 , ta có f(0) = -1 và f(1) = 1 nên: f(0).f(1) < 0.

- Mặt khác:    f ( x )   = x 3 + x - 1  là hàm đa thức nên liên tục trên [0;1].

- Suy ra    f ( x )   = x 3 + x - 1 đồng biến trên R nên phương trình    x 3 + x - 1 = 0 có nghiệm duy nhất  x 0   ∈   ( 0 ; 1 ) .

- Theo bất đẳng thức Côsi:

1.

a/ \(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2+3x+2\right)+\left(x-1\right)\left(x^2-3x+2\right)-12=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2+2\right)+3x\left(x+1\right)-3x\left(x-1\right)+\left(x-1\right)\left(x^2+2\right)-12=0\)

\(\Leftrightarrow2x\left(x^2+2\right)+6x^2-12=0\)

\(\Leftrightarrow x^3+3x^2+2x-6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+4x+6\right)=0\Rightarrow x=1\)

b/ Nhận thấy \(x=0\) ko phải nghiệm, chia 2 vế cho \(x^2\)

\(x^2+\frac{1}{x^2}+3\left(x+\frac{1}{x}\right)+4=0\)

Đặt \(x+\frac{1}{x}=t\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2\)

\(t^2-2+3t+4=0\Rightarrow t^2+3t+2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-1\\t=-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+\frac{1}{x}=-1\\x+\frac{1}{x}=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+x+1=0\left(vn\right)\\x^2+2x+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=-1\)

1c/

\(\Leftrightarrow x^5+x^4-2x^4-2x^3+5x^3+5x^2-2x^2-2x+x+1=0\)

\(\Leftrightarrow x^4\left(x+1\right)-2x^3\left(x+1\right)+5x^2\left(x+1\right)-2x\left(x+1\right)+x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^4-2x^3+5x^2-2x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x^4-2x^3+5x^2-2x+1=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^4-2x^3+x^2+x^2-2x+1+3x^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-x\right)^2+\left(x-1\right)^2+3x^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-x=0\\x-1=0\\x=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) không tồn tại x thỏa mãn

Vậy pt có nghiệm duy nhất \(x=-1\)

2.

a. \(x^4-x^3+x^2+x^2-x+1=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2-x+1\right)+x^2-x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(x^2-x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+1=0\left(vn\right)\\x^2-x+1=0\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=0\left(vn\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy pt vô nghiệm

b.

\(x^4+x^3+x^2+x+1=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x^3+1\right)+x^3+1+x^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^3+1\right)+x^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2\left(x^2-x+1\right)+x^2=0\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)^2\left(x^2-x+1\right)\ge0\\x^2\ge0\end{matrix}\right.\)

Nên dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=0\\x=0\end{matrix}\right.\) ko tồn tại x thỏa mãn

Chọn B và D

Phương trình B vô nghiệm vì \(5x^2+10\ge10>0\forall x\) 

Phương trình C vô nghiệm vì \(x^2+6\ge6>-9\forall x\)

B và C

vì \(5x^2+10=0\Leftrightarrow5x^2=-10\Leftrightarrow x^2=-2\)(VL)

\(x^2+6=-9\Leftrightarrow x^2=-15\left(VL\right)\)