a/ \(b^2-c^2=ab.cosC-ac.cosB\)

Ta có: \(b.cosC-c.cosB=ab.\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}-ac.\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\)

\(=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2}-\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2}=\dfrac{2b^2-2c^2}{2}=b^2-c^2\) (đpcm)

b/ \(ac.cosC-ab.cosB=ac.\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}-ab.\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\)

\(=\dfrac{c^2\left(a^2+b^2-c^2\right)-b^2\left(a^2+c^2-b^2\right)}{2bc}=\dfrac{\left(ac\right)^2-\left(ab\right)^2+b^4-c^4}{2bc}\)

\(=\dfrac{-a^2\left(b^2-c^2\right)+\left(b^2-c^2\right)\left(b^2+c^2\right)}{2bc}=\left(b^2-c^2\right).\dfrac{\left(b^2+c^2-a^2\right)}{2bc}\)

\(=\left(b^2-c^2\right).cosA\) (đpcm)

c/ \(cotA+cotB+cotC=\dfrac{cosA}{sinA}+\dfrac{cosB}{sinB}+\dfrac{cosC}{sinC}=\dfrac{2R.cosA}{a}+\dfrac{2R.cosB}{b}+\dfrac{2R.cosC}{c}\)

\(=2R\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2abc}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2abc}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2abc}\right)\)

\(=2R\left(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2abc}\right)=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{abc}.R\) (đpcm)

C

Bài 2: 

Gọi tam giác cần có trong đề là ΔABC vuông tại A có \(\widehat{B}=\alpha\)

Ta có: \(\tan^2B+1=\left(\dfrac{AC}{AB}\right)^2+1=\dfrac{AC^2+AB^2}{AB^2}=\dfrac{BC^2}{AB^2}\)

\(\Leftrightarrow\tan^2B+1=1:\dfrac{AB^2}{BC^2}=\dfrac{1}{\cos^2B}\)(đpcm)

Áp dụng hệ thức Py-ta-go vào tam giác ABC vuông tại C, ta có:

AB2=BC2+CA2=1,22+0,92=1,52 => AB = 1,5

Ta có:

tanB = CACB = 0,91,2 = 34cotB = CBCA = 1,20,9 = 43sinB = CAAB = 0,91,5 = 35cosB = CBAB = 1,21,5 = 45

Vì góc A và góc B phụ nhau, nên:

cotA = tanB = 34tanA = cotB = 43sinA = cosB = 45cosA = sinB = 0,91,5 = 35

Do \(\Delta\)ABC vuông tại A \(\Rightarrow\) cot B = tan C

\(\Rightarrow\) cot B + cot C = tan C + cot C

Áp dụng BĐT Cô-si ta có

tan C + cot C \(\ge\) \(2\sqrt{tanC.cotC}\) = 2 ( do tan C.cotC =1)

\(\Rightarrow\) cot B + cot C \(\ge\) 2

Dấu "=" xảy ra\(\Leftrightarrow\) \(\widehat{B}\) = \(\widehat{C}\) =45^o

\(\Rightarrow\) \(\Delta\) ABC vuông cân tại A

Kẻ đường cao AH \(\left(H\in BC\right)\). Khi đó H nằm giữa B và C

Tia AG đi qua trung điểm I của cạnh BC.

Vì là trọng tâm của tam giác ABC nên AI = 3GI

Xét tam giác GBC vuông tại G có GI là trung tuyến nên BC = 2GI

Lại có:

\(\cot B+\cot C=\frac{BH}{AH}+\frac{CH}{AH}=\frac{BC}{AH}\)

Vì H là hình chiếu A trên BC nên \(AH\le AI\)

\(\Rightarrow\frac{BC}{AH}\ge\frac{BC}{AI}=\frac{2GI}{3GI}=\frac{2}{3}\)

Vậy ta có đpcm.

Dấu "=" khi \(H\equiv I\) hay tam giác ABC cân tại A có \(BM\perp CN\)