Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{2\sqrt[3]{abc}}=\frac{c^2}{c^2(a+b)}+\frac{a^2}{a^2(b+c)}+\frac{b^2}{b^2(c+a)}+\frac{(\sqrt[3]{abc})^2}{2abc}\)

\(\geq \frac{(c+a+b+\sqrt[3]{abc})^2}{c^2(a+b)+a^2(b+c)+b^2(c+a)+2abc}=\frac{(a+b+c+\sqrt[3]{abc})^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

đây là hổ đơ(holder) mà

áp dụng hổ đơ ta có:

\(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)=\left(1+\sqrt[3]{a}^3\right)\left(1+\sqrt[3]{b}\right)\left(1+\sqrt[3]{c}\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)

có thể giải = cách khác ko bn?

\(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)

\(\Leftrightarrow1+abc+ab+bc+ca+a+b+c\ge1+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}+3\sqrt[3]{abc}+abc\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca+a+b+c\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}+3\sqrt[3]{abc}\)

Giờ áp dujgn BĐT AM-GM cho VT là ra VP nhé

Mik làm đc bài 2 thôi à

Giờ ra chơi, sân trường thật là nhộn nhịp. Các trò chơi đuợc diễn ra sôi nổi. Cũng như các bạn của mình. Hồng Thắm và Yến Nhi rủ nhau ra chơi nhảy dây dưới bóng mát của gốc cây phượng vĩ.- Oẳn tù tì, ra cái gì, ra cái này!- A! Mình thắng rồi, nhảy trước nhé! Hồng Thắm reo lên, rồi nhanh nhẹn cầm dây nhảy, mặt tươi như hoa. Ban đầu, bé nhảy chậm, dần dần nhanh hơn. Dáng người của Thắm thon thả, nhỏ nhắn. Đôi bàn tay bé trắng hồng, cầm chắc hai đầu dây quay đều. Hai bím tóc như hai đuôi gà đen mượt nhảy tót lên vai. Được một lúc dường như đã thấm mệt, Thắm nhảy chậm lại nhưng miệng vẫn mấp máy đếm. Bỗng “uỵch”, Thắm vấp dây, lỡ đà khụy xuống. Đến lượt Yến Nhi thoăn thoắt lướt qua vòng dây. Tiếng dây quất xuống đất đen đét, nghe đanh và gọn. Yến Nhi có khuôn mặt tròn trịa, hai má bầu bĩnh, làn da ngăm ngăm màu nâu, đôi mắt đen tròn, sáng long lanh như hai hạt thủy tinh và hàng mi dày cong cong.- Sáu mươi, sáu mốt…Yến Nhi đếm đều, mồ hôi lấm tấm, những sợi tóc bết vào trán như đường chì kẻ. Khuôn mặt bé hồng lên trong nắng, y như mặt trời tí hon trên cao. Ông Mặt Trời gật gù mỉm cười. Những luồng gió mát thổi tung hai bím tóc dài. Chợt một hồi trống giòn giã vang lên: “Tùng! Tùng! Tùng!”Hồng Thắm và Yến Nhi nhanh nhẹn vào lớp cùng các bạn. Ngoài sân, nắng và gió vẫn vui đùa thản nhiên như muốn tiếp tục cuộc chơi của hai bé đang bỏ dở

 

Mik trả lời lộn nha thông cảm

3: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b>=2\sqrt{ab}\\b+c>=2\sqrt{bc}\\a+c>=2\sqrt{ac}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)>=8abc\)

1: =>(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b)>=0

=>(a+b)(a^2-2ab+b^2)>=0

=>(a+b)(a-b)^2>=0(luôn đúng)

2) Áp dụng bất đẳng thức ở câu 1 ta có:

\(\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}\le\dfrac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\dfrac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)

Tương tự: \(\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}\le\dfrac{1}{bc\left(a+b+c\right)}\)

và \(\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\le\dfrac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)

Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức trên ta được:

\(\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\le\dfrac{1}{a+b+c}\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)=\dfrac{1}{a+b+c}.\dfrac{a+b+c}{abc}=\dfrac{1}{abc}\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c.

Nhớ làm đâu đó rồi mà làm biếng lục vc:(

Đặt \(\left(a+b+c;ab+bc+ca;abc\right)=\left(3u;3v^2;w^3\right)\). Ta đi chứng minh \(P\ge28\)

\(\Leftrightarrow\frac{v^2}{3u^2-2v^2}+\frac{27u^3}{w^3}\ge28\). Chú ý rằng: \(w^3\le uv^2\). Do đó ta chỉ cần chứng minh:

\(\Leftrightarrow\frac{v^2}{3u^2-2v^2}+\frac{27u^2}{v^2}\ge28\)\(\Leftrightarrow\frac{3\left(u^2-v^2\right)\left(27u^2-19v^2\right)}{v^2\left(3u^2-2v^2\right)}\ge0\)

Hiển nhiên đúng do \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\Rightarrow u^2\ge v^2\)...

P/s: Bài này dùng SOS đi cho lẹ:D

Cách 2:

\(P-28=\frac{\left(a+b+c\right)^2\left[\Sigma_{cyc}a\left(b-c\right)^2\right]}{abc\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{\left(\Sigma_{cyc}a^2-\Sigma_{cyc}ab\right)\left(9\Sigma_{cyc}a^2-\Sigma_{cyc}ab\right)}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge0\)

Vậy \(P\ge28\). Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

Ngoài ra dùng dồn biến cũng ra:D

Chứng minh: \(P=F\left(a;b;c\right)\ge F\left(\frac{a+b}{2};\frac{a+b}{2};c\right)\ge28\)

Giải sai

Xét từng hạng tử vế trái:

*\(\frac{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}\ge\frac{2\cdot3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{a^3b^3c^3}}=6\sqrt[3]{\frac{1}{a^2b^2c^2}}\ge6\)(*)

**\(\frac{9\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{9\left(a^2+b^2+c^2\right)+18\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+b^2+c^2}=9+\frac{18\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+b^2+c^2}\)(1)

Mà \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

Suy ra \(\left(1\right)\ge9+\frac{18\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}=9+18=27\)(**)

Cộng vế theo vế (*) và (**) ta được điều phải chứng minh.

sai ở đâu zậy

Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\Rightarrow xyz=1\)

\(P=\frac{x^3yz}{y+z}+\frac{y^3xz}{x+z}+\frac{z^3xy}{x+y}=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\)

\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;1\right)\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;1\right)\)

a ) Ta có : \(a+b+c=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+ac+bc\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+ac+bc\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=4\left(ab+ac+bc\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2ab^2c+2a^2bc+2c^2ab\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+8abc\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)+8abc.0\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)\)

Lại có : \(\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2}=\dfrac{a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}{2}\)

\(=\dfrac{a^4+b^4+c^4+a^4+b^4+c^4}{2}=\dfrac{2\left(a^4+b^4+c^4\right)}{2}\)

\(=a^4+b^4+c^4\left(đpcm\right)\)

b ) \(a+b+c+d=0\)

\(\Leftrightarrow a+b=-\left(c+d\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=-\left(c+d\right)^3\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+\left(c+d\right)^3=0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3+3a^2b+3b^2a+3c^2d+3d^2c=0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=-3a^2b-3b^2a-3c^2d-3d^2c\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=3\left(-a^2b-b^2a-c^2d-d^2c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=3\left[-ab\left(a+b\right)-cd\left(c+d\right)\right]\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=3\left[ab\left(c+d\right)-cd\left(c+d\right)\right]\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=3\left(ab-cd\right)\left(c+d\right)\left(đpcm\right)\)