\(\text{a) }\left|\left|x+5\right|-4\right|=3\)

- Xét \(x\ge-5\Leftrightarrow\left|x+1\right|=3\):

+) Với \(x\ge-1\Leftrightarrow x+1=3\)

\(\Leftrightarrow x=2\left(T/m\right)\)

+) Với \(-5\le x< -1\Leftrightarrow-x-1=3\)

\(\Leftrightarrow x=-4\left(T/m\right)\)

- Xét \(x< -5\Leftrightarrow\left|x-9\right|=3\)

+) Với \(-5< x< 9\Leftrightarrow9-x=3\)

\(\Leftrightarrow x=6\left(T/m\right)\)

+) Với \(x\ge9\left(loại\right)\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S=\left\{2;-4;6\right\}\)

\(\text{b) }\left|17x-5\right|-\left|17x+5\right|=0\\ \Leftrightarrow\left|17x-5\right|=\left|17x+5\right|\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}17x-5=\left(17x+5\right)\\17x-5=-\left(17x+5\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}17x-5=17x+5\\17x-5=-17x-5\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}17x-17x=5+5\\17x+17x=-5+5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}0x=10\left(loại\right)\\34x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=0\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=0\)

\(\text{c) }\left|3x+4\right|=2\left|2x-9\right|\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x+4=2\left(2x-9\right)\\3x+4=-2\left(2x-9\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x+4=4x-18\\3x+4=-4x+18\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x-4x=-18-4\\3x+4x=18-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-x=-22\\7x=14\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=22\\x=2\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S=\left\{2;22\right\}\)

Phương trình có mỗi một vế thì giải bằng niềm tin chắc?

(d) qua A(5; 6) : y = mx - 5m + 6 (1) 
(C) : (x - 1)² + (y - 2)² = 1 (2) 
Thay y từ (1) vào (2) ta có phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) 
(x - 1)² + (mx - 5m + 4)² = 1 
Khai triển ra pt bậc 2 : (m² + 1)x² - 2(5m² - 4m + 1)x + 25m² - 40m + 17 = 0 (*) 
Để (d) tiếp xúc (C) thì (*) phải có nghiệm kép 
∆' = (5m² - 4m + 1)² - (m² + 1)(25m² - 40m + 17) = - 4(3m² - 8m + 4) = 4(m - 2)(2 - 3m) = 0 => m = 3/2; m = 2 
KL : Có 2 đường thẳng cần tìm 
(d1) : y = (3/2)(x - 1) 
(d2) : y = 2x - 4 

∆ ∠ ∡ √ ∛ ∜ x² ⁻¹ ∫ π × ∵ ∴ | | , ⊥,∈∝ ≤ ≥− ± , ÷ ° ≠ → ∞, ≡ , ≅ , ∑,∪,¼ , ½ , ¾ , ≈ , [-b ± √(b² - 4ac) ] / 2a Σ Φ Ω α β γ δ ε η θ λ μ π ρ σ τ φ ω ё й½ ⅓ ⅔ ¼ ⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁺ ⁻ ⁼ ⁽ ⁾ ⁿ ₁ ₂ ₃₄₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ∊ ∧ ∏ ∑ ∠ ,∫ ∫ ψ ω Π∮ ∯ ∰ ∇ ∂ • ⇒ ♠ ★

    1. Phương pháp 1: ( Hình 1)

        Nếu  thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

    2. Phương pháp 2: ( Hình 2)

        Nếu AB // a và AC // a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

       (Cơ sở của phương pháp này là: tiên đề Ơ – Clit- tiết 8- hình 7)

    3. Phương pháp 3: ( Hình 3)

        Nếu AB  a ; AC  A thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

        ( Cơ sở của phương pháp này là: Có một và chỉ một đường thẳng

        a^’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước

        - tiết 3 hình học 7)

        Hoặc A; B; C cùng thuộc một đường trung trực của một

        đoạn thẳng .(tiết 3- hình 7)

    4. Phương pháp 4: ( Hình 4)

        Nếu tia OA và tia OB là hai tia phân giác của góc xOy

        thì ba điểm O; A; B thẳng hàng.

        Cơ sở của phương pháp này là:                                                        

        Mỗi góc có một và chỉ một tia phân giác .

     * Hoặc : Hai tia OA và OB cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox ,

                   thì ba điểm O, A, B thẳng hàng.

    5. Nếu K là trung điểm BD, K^’ là giao điểm của BD và AC. Nếu K^’

       Là trung điểm BD  thì K^’  K thì A, K, C thẳng hàng.

      (Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm)

C. Các ví dụ minh họa cho tùng phương pháp:

                                                                Phương pháp 1

    Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông góc CA

                     (tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC). Trên tia Cx lấy điểm

                     D sao cho CD = AB.

                     Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng.

     Gợi ý: Muốn B, M, D thẳng hàng cần chứng minh

               Do nên cần chứng minh

BÀI GIẢI:

               AMB và CMD có:                                                       

                   AB = DC (gt).

                    MA = MC (M là trung điểm AC)                                              

               Do đó: AMB = CMD (c.g.c). Suy ra:

               Mà   (kề bù) nên .

               Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng.

    Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của AB lấy điểm D mà  AD = AB, trên tia đối

                     tia AC lấy điểm E mà AE = AC. Gọi M; N lần lượt là các điểm trên BC và ED

                      sao cho CM = EN.

                    Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng.

Gợi ý: Chứng minh  từ đó suy ra ba điểm M; A; N thẳng hàng.

BÀI GIẢI (Sơ lược)

          ABC = ADE (c.g.c)

          ACM = AEN (c.g.c)

          Mà  (vì ba điểm E; A; C thẳng hàng) nên

Vậy ba điểm M; A; N thẳng hàng (đpcm)

BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 1

Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC, trên tia đối

          của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và

          CD.

          Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A có . Vẽ tia Cx  BC (tia Cx và điểm A ở

          phía ở cùng phía bờ BC), trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CA. Trên tia đối của tia

          BC lấy điểm F sao cho BF = BA.

          Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng.

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm

          E sao cho CE = BD. Kẻ DH và EK vuông góc với BC (H và K thuộc đường thẳng BC)

          Gọi M là trung điểm HK.

          Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng.

Bài 4: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB, kẻ

          Hai tia Ax và By sao cho .Trên Ax lấy hai điểm C và E(E nằm giữa A và C),

          trên By lấy hai điểm D và F ( F nằm giữa B và D) sao cho AC = BD, AE = BF.

          Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng , ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Bài 5.Cho tam giác ABC . Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M trên cạnh BC, vẽ các

          đường thẳng song song AB và AC, các đường thẳng này cắt xy theo thứ tự tại D và E.

          Chứng minh các đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm.

                                                              PHƯƠNG PHÁP 2

    Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB. Trên

                  Các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung  

                 điểm BD và N là trung điểm EC.

                  Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng.

Hướng dẫn: Xử dụng phương pháp 2                                            

                  Ta chứng minh AD // BC và AE // BC.

BÀI GIẢI.

                 BMC và DMA có:

                   MC = MA (do M là trung điểm AC)

                    (hai góc đối đỉnh)

                   MB = MD (do M là trung điểm BD)

                  Vậy: BMC = DMA (c.g.c)

                   Suy ra: , hai góc này ở vị trí so le trong nên BC // AD (1)

                   Chứng minh tương tự : BC // AE (2)

                   Điểm A ở ngoài BC có một và chỉ một đường thẳng song song BC nên từ (1)

                   và (2) và theo Tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm E, A, D thẳng hàng. 

   Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng  AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia

                 AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho

                 D là trung điểm AN. 

a. 6x + 14 = 17x - 3

\(\Leftrightarrow\)6x - 17x = -3 - 14

\(\Leftrightarrow\)-11x = -17

\(\Leftrightarrow\)x = 17/11

a: =>2x-3x^2-x<15-3x^2-6x

=>x<-6x+15

=>7x<15

=>x<15/7

b: =>4x^2-24x+36-4x^2+4x-1>=12x

=>-20x+35>=12x

=>-32x>=-35

=>x<=35/32

\(a,2x-x\left(3x+1\right)< 15-3x\left(x+2\right)\\ \Leftrightarrow2x-3x^2-x< 15-3x^2-6x\\ \Leftrightarrow3x^2-3x^2+2x+6x-x< 15\\ \Leftrightarrow7x< 15\\ \Leftrightarrow x< \dfrac{15}{7}\)

Vậy S={-∞; 15/7}

\(b,4\left(x-3\right)^2-\left(2x-1\right)^2\ge12x\\ \Leftrightarrow4\left(x^2-6x+9\right)-\left(4x^2-4x+1\right)-12x\ge0\\ \Leftrightarrow4x^2-4x^2-24x+4x-12x\ge-36+1\\ \Leftrightarrow-32x\ge-35\\ \Leftrightarrow x\le\dfrac{35}{32}\)

Vậy S={-∞; 35/32]

nhân pt (2) vs 3 sau đó cộng pt (1) vs (2) ta đc

\(\left\{{}\begin{matrix}x^3+3xy^2=-46\\x^3+3xy^2+3x^2-24xy+3y^2=24y-51x-46\end{matrix}\right.\)

bây h ta chú ý tới pt dưới

\(x^3+3xy^2+3x^2-24xy+3y^2-24y+51x+46=0\)

\(\left(x+1\right)\left(x^2+2x+3y^2-24y+49\right)=0\)

\(\left(x+1\right)\left[\left(x+1\right)^2+3\left(y-4\right)^2\right]=0\)

\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\x^3+3xy^2=-49\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=-4\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

vậy hệ có 2 nghiệm

\(\left\{{}\begin{matrix}3x+1< x-7\\1-2x>x+1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x< -8\\3x< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x< -4\\x< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x< -4\)

Vậy nghiệm của hệ là \(S=\left(-\infty;-4\right)\)