\(\dfrac{1}{1\cdot2\cdot3}+\dfrac{1}{2\cdot3\cdot4}+\dfrac{1}{3\cdot4\cdot5}+....\\ =\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}\right)+....\\ \\ =\left(\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot4}+....\right)-\left(\dfrac{1}{1\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot5}+...\right)-\left(\dfrac{1}{2\cdot4}+\dfrac{1}{4\cdot6}+....\right)\\ =1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}\)

\(\dfrac{1}{1\cdot2\cdot4}+\dfrac{1}{2\cdot3\cdot5}+\dfrac{1}{3\cdot4\cdot6}+....\\ =\dfrac{1}{2}\text{[}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\right)+\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}\right)+....\text{]}\\ =\dfrac{1}{2}\text{[}\left(\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot4}+....\right)-\left(\dfrac{1}{1\cdot4}+\dfrac{1}{4\cdot7}+...\right)-\left(\dfrac{1}{2\cdot5}+\dfrac{1}{5\cdot8}+...\right)-\left(\dfrac{1}{3\cdot6}+\dfrac{1}{6\cdot9}\right)\text{]}\\ =\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{9}\right)=\dfrac{7}{36}\)

\(\dfrac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot4}+\dfrac{1}{2\cdot3\cdot4\cdot5}+\dfrac{1}{3\cdot4\cdot5\cdot6}+....\\ =\dfrac{1}{1\cdot2}\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{2\cdot3}\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}\right)+\dfrac{1}{3\cdot4}\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}\right)+....\\ \\ =\left(\dfrac{1}{1\cdot2\cdot3}+\dfrac{1}{2\cdot3\cdot4}+\dfrac{1}{3\cdot4\cdot5}+....\right)-\left(\dfrac{1}{1\cdot2\cdot4}+\dfrac{1}{2\cdot3\cdot5}+\dfrac{1}{3\cdot4\cdot6}+....\right)\\ \\ =\dfrac{1}{4}-\dfrac{7}{36}=\dfrac{1}{18}\)

Đưa các chữ số của số tự nhiên cần lập vào các ô trống:

TH1: Có chữ số 0: 

Đưa 0 vào : \(C^2_7\) cách 

Chọn và đưa 2 số chẵn còn lại vào : \(C^2_4C^2_6C^2_4\) cách

Chọn 2 chữ số lẻ : \(A^2_5\) cách

=>TH1 lập được \(C^2_7C^2_4C^2_6C^2_4A^2_5=226800\) số

TH2: Không có chữ số 0: 

Chọn và đưa 3 số chẵn vào : \(C^3_4C^2_8C^2_6C^2_4\) cách

Chọn 2 chữ số lẻ : \(A^2_5\) cách

=>TH2 lập được \(C^3_4C^2_8C^2_6C^2_4A^2_5=201600\) số

Vậy có 226800 + 201600 = 428400 số

Tổng 5 chữ số bất kì luôn \(\ge0+1+2+3+4=10\) => Mọi chữ số đề \(\le8\)

Nếu X không có 0 tổng 5 chữ số bất kì luôn \(\ge1+2+3+4+5=15\) => Mọi chữ số đều \(\le3\) ---> Vô lý

Vậy X luôn có 0 và không có 9.

Các X bộ số thỏa mãn: 

+) \(\left(0;1;2;3;4;8\right)\) lập được 5.5! = 600 số tự nhiên và  5! + 3.4.4! = 408 số chẵn

+) \(\left(0;1;2;3;5;7\right)\) lập được 5.5! = 600 số tự nhiên và  5! + 4.4! = 216 số chẵn 

+) \(\left(0;1;2;4;5;6\right)\) lập được 5.5! = 600 số tự nhiên và  5! + 3.4.4! = 408 số chẵn

=> Xác suất chọn được số chẵn: \(P=\dfrac{408+408+216}{600\cdot3}=\dfrac{43}{75}\)

Cho 2,16 gam kim loại M hóa trị II phản ứng HNO₃ dư tạo 0,224(l) N₂(dktc) và 14,12 gam muối

a) Tìm M

b) Lấy 3 muối cùng 1 axit của M là A;B;C tác dụng với HCl thì thầy cùng 1 lượng HCl phản ứng cho một chất khí với tỉ lệ 2 : 4 : 1. Tìm A;B;C

a) Không gian mẫu : \(\left|\Omega\right|=C^3_{18}=816\)

Biến cố A" 3 bi cùng màu" 

Các trường hợp thuận lợi cho biến cố A "

TH1: 3 bi trắng \(C^3_8\)

TH2: 3 bi vàng \(C^3_6\)

TH3: 3 bi xanh \(C^3_4\)

=> \(\left|\Omega_A\right|=C^3_8+C^3_6+C^3_4=80\)

=> \(P\left(A\right)=\dfrac{80}{816}=\dfrac{5}{51}\)

b) Biến cố B" 3 bi khác màu" 

Chọn mỗi màu 1 viên 

Màu trắng 8 cách

Màu vàng 6 cách

Màu xanh 4 cách

=> \(\left|\Omega_B\right|=8\cdot6\cdot4=192\)

=> \(P\left(B\right)=\dfrac{\left|\Omega_B\right|}{\left|\Omega\right|}=\dfrac{192}{816}=\dfrac{4}{17}\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{4\text{x}^2-3\text{x}+1}-\left(ax+b\right)\right)\\ =\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{4\text{x}^2-3\text{x}+1-\left(ax+b\right)^2}{\sqrt{4\text{x}^2-3\text{x}+1}+\left(ax+b\right)}\right)\\= \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{\left(4-a\right)\text{x}^2-\left(3+2\text{a}b\right)\text{x}+1+b^2}{\sqrt{4\text{x}^2-3\text{x}+1}+\left(ax+b\right)}\right)=0\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4-a=0\\3+2\text{a}b=0\\2+a\ne0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=-\dfrac{3}{8}\\\end{matrix}\right.\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt[n]{\left(x+a_1\right)\left(x+a_2\right)...\left(x+a_n\right)}-x\right)\\ =\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{\left(x+a_1\right)\left(x+a_2\right)...\left(x+a_n\right)-x^n}{\sqrt[n]{\left(\left(x+a_1\right)\left(x+a_2\right)...\left(x+a_n\right)\right)^{n-1}}+...+x^{n-1}}\right)\)

= hệ số x^n-1 trên tử/hệ số x^n-1 dưới mẫu  = \(\dfrac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}=\left(\sqrt[3]{x^3+3\text{x}^2}-\sqrt{x^2-2\text{x}}\right)\\ =\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3\text{x}^2}-x+x-\sqrt{x^2-2x}\right)\\ =\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{3\text{x}^2}{\sqrt[3]{\left(x^3+3\text{x}^2\right)^2}+x\sqrt[3]{x^3+3\text{x}^2}+x^2}+\dfrac{2\text{x}}{x+\sqrt{x^2-2x}}\right)\\ =\dfrac{3}{1+1+1}+\dfrac{2}{1+1}=2\)

(*) Lập các số 8 chữ số có 3 chữ số 9.

Đưa các chữ số vào ô: 

TH1: Có số 0

Đưa 0 vào : 7 cách

Lấy 3 ô bất kì trong 7 ô còn lại để chứa 3 chữ số 9: \(C^3_7\) cách

Chọn 4 chữ số trong 8 chữ số chưa dùng : \(A^4_8\) cách 

=> TH1 có \(7\cdot C^3_7\cdot A^4_8=411600\)

TH2: Không có số 0

Lấy 3 ô bất kì trong 8 ô còn lại để chứa 3 chữ số 9: \(C^3_8\) cách

Chọn 5 chữ số trong 8 chữ số chưa dùng (không dùng 0) : \(A^5_8\) cách 

=> TH2 có \(C^3_8A^5_8=376320\)

=> Lập được 411600 + 376320 =787920 số 8 chữ số có 3 chữ số 9

(*) Lập các số có 3 chữ số 9 mà 3 chữ số 9 đứng cạnh nhau : 

Đặt \(\alpha=999\)

Đưa các chữ số vào ô: 

TH1: Có số 0

Đưa 0 vào : 5 cách

Đưa \(\alpha\) vào : 5 cách

Chọn 4 chữ số trong 8 chữ số chưa dùng : \(A^4_8\) cách

=> TH1 : \(5\cdot5A^4_8=42000\)

TH2: Không có số 0

Đưa \(\alpha\) vào : 6 cách

Chọn 5 chữ số trong 8 chữ số chưa dùng (không dùng 0) : \(A^5_8\) cách 

=> TH2: \(6\cdot A^5_8=40320\)

=>  Lập được 42000 + 40320 =82320 số 8 chữ số có 3 chữ số 9 mà 3 chữ số 9 đứng cạnh nhau

Vậy lập được 787920 - 82320 = 705600 số 8 chữ số có 3 chữ số 9 mà 3 chữ số 9 không đứng cạnh nhau

a) \(u_{n+3}=sin\left[4\left(n+3\right)-1\right]\dfrac{\pi}{6}=sin\left[4n+12-1\right]\dfrac{\pi}{6}\\ =sin\left[\left(4n-1\right)\dfrac{\pi}{6}+2\pi\right]=sin\left(4n-1\right)\dfrac{\pi}{6}=u_n\)

b) 

\(u_1=u_4=...=u_{13}=sin\dfrac{\pi}{2}\\ u_2=u_5=...=u_{14}=sin\dfrac{7\pi}{6}\\ \\ u_3=u_6=...=u_{15}=sin\dfrac{11\pi}{6}\\ \Rightarrow u_1+u_2+...+u_{15}=5\left(sin\dfrac{\pi}{2}+sin\dfrac{7\pi}{6}+\dfrac{11\pi}{6}\right)=0\)