a) Ta có: \(a^2-2a+2\)

\(=\left(a^2-2a+1\right)+1\)

\(=\left(a-1\right)^2+1>0\) với mọi a

\(=>\left(đpcm\right)\)

b)Ta có: \(6b-b^2-10\)

\(=-\left(b^2-6b+3^2\right)-1\)

\(=-\left(b-3\right)^2-1< 0\) với mọi b

=>(đpcm).

\(x^2+\left(a+b\right)^2x-2\left(a^2-ab+b^2\right)=0\) (1)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2+\left(a+b\right)x+\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{\left(a+b\right)^2}{4}+2\left(a^2-ab+b^2\right)=0\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{\left(a+b\right)^2+8\left(a^2-ab+b^2\right)}{4}\left(2\right)\)

để (2) có nghiệm => VP >=0

Vậy ta cần chứng minh VP>=0 với mọi a,b

\(D=\left(a+b\right)^2+8\left(a^2-ab+b^2\right)=9\left(a+b\right)^2-24ab=9\left(a^2+2ab+b^2\right)-24ab\)

\(D=3\left(a^2-2ab+b^2\right)+a^2+b^2=3\left(a-b\right)^2+\left(a^2+b^2\right)\)

D là tổng của 3 số không âm => \(D\ge0\) =>dpcm

p/s: mình quen làm kiểu lớp 8 giờ nhìn lại lớp 9.

Đề bài sai, phản ví dụ: \(a=b=0,c=1\)

BĐT này chỉ đúng khi a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác

=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac>=0

=>(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2>=0(luôn đúng)

Xét hiệu a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=1/2.2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)

=1/2(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)

=1/2[(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2)]
=1/2.[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]

vì (a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2>=0
nên 1/2.[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]>=0
hay a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc >=0<=> a^2+b^2+c^2>=ab+ac+bc

a) \(9c^2-6c+3\)

\(=\left(9c^2-6c+1\right)+2=\left(3c-1\right)^2+2>0\)

b) \(14m-6m^2-13\)

\(=-6.\left(m^2-\frac{7}{3}m+\frac{13}{6}\right)\)

\(=-6.\left(m^2-2\cdot\frac{7}{6}\cdot m+\frac{49}{36}+\frac{29}{36}\right)\)

\(=-6.\left(m-\frac{7}{6}\right)^2-\frac{29}{6}< 0\)

c) \(a^2-2a+2=\left(a-1\right)^2+1>0\)

d) \(6b-b^2-10=-\left(b^2-6b+9\right)-1=-\left(b-3\right)^2-1< 0\)