\(a^2+\left(a+1\right)^2=a^2+a^2+2a+1\\ =2a^2+2a+1>2a\left(a+1\right)\\ \Rightarrow\dfrac{1}{a^2+\left(a+1\right)^2}< \dfrac{1}{2a\left(a+1\right)}\)

\(\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{25}+...+\dfrac{1}{n^2+\left(n+1\right)^{^2}}\\ =\dfrac{1}{1^2+2^2}+\dfrac{1}{2^2+3^2}+\dfrac{1}{3^2+4^2}+...+\dfrac{1}{n^2+\left(n+1\right)^2}\\ < \dfrac{1}{2.1.\left(1+2\right)}+\dfrac{1}{2.2\left(2+1\right)}+....+\dfrac{1}{2n\left(n+1\right)}\\ =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}\right)\\ =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n+1}\right)\\ =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{n+1}\right)\\ =\dfrac{5}{12}-\dfrac{1}{2n+2}< \dfrac{5}{12}< \dfrac{9}{20}\)

Giả sử n^2 + 5n +5 chia het cho 25 => n^2+5n+5 chia het cho 5 => n^2 chia het cho 5 (do 5n+5 chia het cho 5) 
Do đó n chia hết cho 5 (vì 5 là số ng tố) => n=5k (k thuoc N) => n^2+5n+5=25k^2+25k+5 
do 25k^2+25k chia het cho 25 nhưng 5 khong chia het cho 25 nen n^2+5n+5 không chia hết cho 25 
mâu thuẫn => điều g/s sai => dpcm

Ta xét 2 trường hợp đơn giản sau:

+ TH1: Số n chia hết cho 5 ( n =5k)  

=> n^2 = (5k)^2 = 25k^2 chia hết cho 25

   5.n= 5.5k = 25k chia hết cho 25

nhưng 5 không chia hết cho 25 

=> n^2+5n+5 không chia hết cho 5

 + TH2: Nếu n không chia hết cho 5 ( n khác dạng 5k)

=> n^2 không chia hết cho 5 => n^2 cũng không chia hết cho 25

=> 5.n cũng không chia hết cho 25

=> 5 cũng không chia hết cho 25

 DO đó n^2+5n+5 cũng không chia hết cho 5

Kết luận: n^2+5n+5 không chia hết cho 25 với mọi n thuộc N

3 số cùng ko chia hết cho 25 thì chưa chắc là tổng của chúng ko chia hết cho 25 đâu nhé!

\(\dfrac{a+5}{a-5}=\dfrac{b+6}{b-6}\Leftrightarrow\left(a+5\right)\left(b-6\right)=\left(a-5\right)\left(b+6\right)\\ \Leftrightarrow ab-6a+5b-30=ab+6a-5b-30\\ \Leftrightarrow12a=10b\\ \Leftrightarrow6a=5b\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{5}{6}\)

 Văn nghệ là tiếng nói của tình cảm con người. Và văn chương-một bộ phận nhỏ của văn nghệ cũng góp phần làm nên cái tiếng nói chung ấy. Dù bạn là người khô khan, cộc cằn đến đâu thì liệu bạn có chắc rằng mình sẽ không rơi lệ khi chứng kiến cảnh chia tay giữa hai anh em Thành và Thuỷ trong"CUộc chia tay của những con búp bê". Sự chia sẻ, tâm hồn rộng mở chính là quà tặng tinh thần đẹp nhất mà văn chương mang đến cho chúng ta. Bạn có chú ý đến từ "gây" trong đề bài. Từ "gây" ở đây gợi cho người đọc một sự lôi kéo, dường như đó là cái không tốt. Bởi cũng như cuộc sống muôn màu, văn học cũng được tạo nên từ nhiều mảnh ghép khác nhau; có những mảnh ghép làm cho nền văn học thêm đặc sắc, độc đáo nhưng cũng có những thành phần làm văn học trở nên u tối, đầy rẫy những xấu xa. Nói như thế, có nghĩa là, bên cạnh những tình cảm tích cực, văn học còn mang đến cho ta những mặt tiêu cực trogn suy nghĩ và lối sống mà tư tửong yêu đương tuổi học trò là một ví dụ chẳng hạn. Văn học mang đến cho cuộc sống chúng ta nhiều thứ thật đấy. Nhưng tiếp nhận chúng thế nào, cảm nhận chúng ra sao lại là một vấn đề khác. Hãy để những tình cảm trong văn học mãi luôn là những tình cảm đẹp, thiêng liêng nhất...và còn gì đẹp hơn nếu bạn biến chúng thành tình cảm thật trong cuộc sống nhỉ ?

\(B=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+...+\dfrac{1}{3^{100}}\)

\(3B=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^{99}}\)

\(\Rightarrow3B-B=1-\dfrac{1}{3^{100}}\)

\(\Rightarrow2B=1-\dfrac{1}{3^{100}}\)

\(0< \dfrac{1}{3^{100}}< 1\Rightarrow0< 1-\dfrac{1}{3^{100}}< 1\)

\(\Rightarrow0< 2B< 1\Rightarrow0< B< \dfrac{1}{2}\Rightarrow\) B không phải số nguyên