Bài 1:

Ta thấy: $(x+\frac{1}{2})^2\geq 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$

$\Rightarrow (x+\frac{1}{2})^2+\frac{5}{4}\geq \frac{5}{4}$

Vậy gtnn của biểu thức là $\frac{5}{4}$

Giá trị này đạt tại $x+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}$

Bài 2:

$x+y-3=0\Rightarrow x+y=3$
\(M=x^2(x+y)-(x+y)x^2-y(x+y)+4y+x+2019\)

\(=-3y+4y+x+2019=x+y+2019=3+2019=2022\)

Ta có  m − 1 x − m y = 3 m − 1 2 x − y = m + 5 ⇔ y = 2 x − m − 5 m − 1 x − m 2 x − m − 5 = 3 m − 1

⇔ y = 2 x − m − 5 m − 1 x − 2 m x + m 2 + 5 m = 3 m − 1 ⇔ y = 2 x − m − 5 − m − 1 x = − m 2 − 5 m + 3 m − 1 ⇔ y = 2 x − m − 5 m + 1 x = m 2 + 2 m + 1 ⇔ y = 2 x − m − 5     1 m + 1 x = m + 1 2     2

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất hay m ≠ − 1

Khi đó từ phương trình (2) ta suy ra x = m + 1 2 m + 1 = m + 1 , thay x = m + 1vào phương trình (1) ta được y = 2 (m + 1) – m – 5 = m – 3

Vậy với  m ≠ − 1  thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (m + 1; m – 3)

Ta xét S = x 2 + y 2 = ( m + 1 ) 2 + ( m – 3 ) 2 = m 2 + 2 m + 1 + m 2 − 6 m + 9

= 2 m 2 – 4 m + 10 = 2 ( m 2 – 2 m + 1 ) + 8 = 2 ( m – 1 ) 2 + 8

Vì ( m   –   1 ) 2   ≥ 0 ;   ∀ m ⇒ 2 ( m – 1 ) 2 + 8 ≥ 8 ; ∀ m

Hay S ≥ 8 ; ∀ m . Dấu “=” xảy ra khi m–1 = 0 ⇔ m=1 (TM)

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm

Đáp án: A

Ta có:  2 x 2 + 1 2 ≥ 2 x ;  2 y 2 + 1 2 ≥ 2 y và  x 2 + y 2 ≥ 2 x y

Cộng vế với vế các BĐT trên ta được:

3 x 2 + y 2 + 1 ≥ 2 x + y + x y = 5 2

=> A =  x 2 + y 2 ≥ 1 2

Từ đó tìm được  A m i n = 1 2 <=> x = y =  1 2

a) Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có :

\(x^2+1\geq 2x\\ 4y^2+1\geq 4y\\ 9z^2+1\geq 6z\)

Suy ra \(S\leq 6\)

Dấu = xảy ra khi \(x=1;y=\frac{1}{2}; z=\frac{1}{3}\)

Chọn đáp án A

Áp dụng BĐT cói cho 2 số ko âm ta có 

X^2+y^2 >= 2 .căn x^2 .y^2 = 2.xy= 2.6 =12 

Vậy P min =12 dấu = xảy ra khi x^2=y^2 <=> x=y 

( thông cảm mình gõ mũ ko đc ) 

\(M=x^3+x^2y-2x^2-xy-y^2+3y+x+2017\)

\(\Rightarrow M=\left(x^3+x^2y-2x^2\right)-xy-y^2+2y+y+x-2+2019\)

\(\Rightarrow M=\left(x^3+x^2y-2x^2\right)-\left(xy+y^2-2y\right)+\left(y+x-2\right)+2019\)

\(\Rightarrow M=x^2\left(x+y-2\right)-y\left(x+y-2\right)+\left(x+y-2\right)+2019\)

\(\Rightarrow M=\left(x^2-y+1\right)\left(x+y-2\right)+2019\)

\(\Rightarrow M=\left(x^2-y+1\right).0+2019\)

\(\Rightarrow M=0+2019\)

\(\Rightarrow M=2019\)