PB

Cho hệ phương trình m − 1 x − m y = 3 m − 1 2 x − y = m + 5 . Tìm m để có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho biểu thức S = x 2 + y 2 đạt giá trị nhỏ nhất.

A. m = 1

B. m = 0

C m = −1

D. m = 2

CT
19 tháng 12 2017 lúc 11:35

Ta có  m − 1 x − m y = 3 m − 1 2 x − y = m + 5 ⇔ y = 2 x − m − 5 m − 1 x − m 2 x − m − 5 = 3 m − 1

⇔ y = 2 x − m − 5 m − 1 x − 2 m x + m 2 + 5 m = 3 m − 1 ⇔ y = 2 x − m − 5 − m − 1 x = − m 2 − 5 m + 3 m − 1 ⇔ y = 2 x − m − 5 m + 1 x = m 2 + 2 m + 1 ⇔ y = 2 x − m − 5     1 m + 1 x = m + 1 2     2

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất hay m ≠ − 1

Khi đó từ phương trình (2) ta suy ra x = m + 1 2 m + 1 = m + 1 , thay x = m + 1vào phương trình (1) ta được y = 2 (m + 1) – m – 5 = m – 3

Vậy với  m ≠ − 1  thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (m + 1; m – 3)

Ta xét S = x 2 + y 2 = ( m + 1 ) 2 + ( m – 3 ) 2 = m 2 + 2 m + 1 + m 2 − 6 m + 9

= 2 m 2 – 4 m + 10 = 2 ( m 2 – 2 m + 1 ) + 8 = 2 ( m – 1 ) 2 + 8

Vì ( m   –   1 ) 2   ≥ 0 ;   ∀ m ⇒ 2 ( m – 1 ) 2 + 8 ≥ 8 ; ∀ m

Hay S ≥ 8 ; ∀ m . Dấu “=” xảy ra khi m–1 = 0 ⇔ m=1 (TM)

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm

Đáp án: A

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
DA
Xem chi tiết
PB
Xem chi tiết
HN
Xem chi tiết
PN
Xem chi tiết
PD
Xem chi tiết
LN
Xem chi tiết
HN
Xem chi tiết
PA
Xem chi tiết
NT
Xem chi tiết