Ta có: \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{1}{16}\)

hay HC=16HB

Ta có: \(AH^2=HB\cdot HC\)

\(\Leftrightarrow16HB^2=148\)

\(\Leftrightarrow HB=\dfrac{\sqrt{37}}{2}\)

\(\Leftrightarrow HC=8\sqrt{37}\)

\(\Leftrightarrow BC=\dfrac{17\sqrt{37}}{2}\left(cm\right)\)

ta có: tan B=\(\dfrac{8}{15}\)

=>tan B=\(\dfrac{8}{15}=\dfrac{AC}{AB}\)

mà AB=30 cm (gt)

=> AC= 8.30:15=16 cm

xét tam giác ABC vuông tại A (gt) 

=> AC²+AB²=BC²  ( Định lí pytago)

hay 16²+30²=BC²

=>BC=\(\sqrt{16^2+30^2}=34\)

ta có sin B=\(\dfrac{AC}{CB}=\dfrac{16}{34}=\dfrac{8}{17}\)

cos B= \(\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{30}{34}=\dfrac{15}{17}\)

cotg B =\(\dfrac{30}{16}=\dfrac{15}{8}\)

Xét tam giác ABH và ACH 

=> 2 tam giác trên đồng dạng

=> \(\dfrac{AH}{HC}=\dfrac{AB}{AC}\)

\(mà\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{5}{7}=>\dfrac{AH}{HC}=\dfrac{5}{7}=>HC=\dfrac{7.15}{5}=21\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng :

AH^2 = HB.HC => HB = \(\dfrac{15^2}{21}=\dfrac{75}{7}\left(cm\right)\)

*Đề bài viết thiếu đường cao AH :v

Xét tam giác AHB và tam giác CHA có: 

góc AHB = góc CHA = 90^o

góc BAH = góc C ( cùng phụ với góc B) 

⇒\(\dfrac{AH}{HC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{HB}{AH}\)

Theo đề bài ta có : \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{5}{7}\)

⇒\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{HB}{AH}\Leftrightarrow\dfrac{5}{7}=\dfrac{HB}{15}\Leftrightarrow HB=\dfrac{75}{7}\left(cm\right)\) 

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AH}{HC}\Leftrightarrow\dfrac{5}{7}=\dfrac{15}{HC}\Leftrightarrow HC=21\left(cm\right)\)

Áp dung hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC : 

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{AB^2+AC^2}{AB^2\cdot AC^2}\)

\(\Leftrightarrow AH=\dfrac{\sqrt{AB^2+AC^2}}{AB\cdot AC}\)

\(\Leftrightarrow AH=\dfrac{\sqrt{AB^2+\left(\dfrac{4AB}{3}\right)^2}}{AB\cdot\dfrac{4AB}{3}}=\dfrac{5AB}{4}\)

\(\Rightarrow AB=\dfrac{4\cdot\dfrac{12}{5a}}{5}=\dfrac{48}{25}a\)

\(BC=\dfrac{AB\cdot AC}{AH}=\dfrac{AB\cdot\dfrac{4}{3}AB}{\dfrac{5}{4}\cdot AB}=\dfrac{16}{15}AB=\dfrac{16}{15}\cdot\dfrac{48}{25}\cdot a=2.048a\)

e làm a,b chung luôn nha chị

Xét tam giác ABC và tam giác A`B`C`, có:

\(\dfrac{AB}{A`B`}=\dfrac{BC}{B`C`}=2\) ( gt )

Góc A = góc A` = 90 độ

=> tam giác ABC đồng dạng tam giác A`B`C`

=>\(\dfrac{AC}{A`C`}=\dfrac{AB}{A`B`}=\dfrac{BC}{B`C`}=2\) ( tính chất 2 tam giác đồng dạng )

c) \(\widehat{BDE}=90^0-\widehat{CDE}=\widehat{BCE}\)

\(\Rightarrow\)△BDE∼△DCE (g-g) \(\Rightarrow\dfrac{BE}{DE}=\dfrac{DE}{CE}\Rightarrow BE.CE=DE^2\left(1\right)\)

-△AHC có: AH//DE (cùng vuông góc BC) \(\Rightarrow\dfrac{DE}{AH}=\dfrac{CE}{CH}\Rightarrow DE=\dfrac{CE.AH}{CH}\Rightarrow DE^2=\dfrac{AH^2.CE^2}{CH^2}\left(2\right)\)

-Từ (1) và (2) ta có điều cần phải c/m.

I là giao BH, CK phải ko bạn

Xét tgABC cân tại A có BI vg AC và CI vg AB

->I là trực tâm tg ABC

->AI vg bc

->Gọi AI cắt BC tại L

->AL là dg cao đồng thời là đường trung tuyến(t/c tg cân)

->dpcm

Đề có sai k vậy

xét  ΔABC có BH , CK là 2 đg cao cắt nhau tại I => I là trực tâm => AI ⊥ BC mà  ΔABC cân ở A=> AI là trung tuyến =>đpcm