Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

1: \(sin^4x+cos^4x\)

\(=\left(sin^2x+cos^2x\right)^2-2\cdot sin^2x\cdot cos^2x\)

\(=1-2\cdot sin^2x\cdot cos^2x\)

2: \(sin^6x+cos^6x\)

\(=\left(sin^2x+cos^2x\right)^3-3\cdot sin^2x\cdot cos^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)\)

\(=1-3\cdot sin^2x\cdot cos^2x\)

3: \(sin^4x-cos^4x\)

\(=\left(sin^2x-cos^2x\right)\left(sin^2x+cos^2x\right)\)

\(=sin^2x-cos^2x\)

\(=1-cos^2x-cos^2x=1-2\cdot cos^2x\)

4: \(\left(1-cosx\right)\left(1+cosx\right)-sin^2x\)

\(=1-cos^2x-sin^2x\)

=1-1

=0

=>\(\left(1-cosx\right)\left(1+cosx\right)=sin^2x\)

=>\(\dfrac{1-cosx}{sinx}=\dfrac{sinx}{1+cosx}\)

5: \(\dfrac{sinx}{1+cosx}+\dfrac{1+cosx}{sinx}\)

\(=\dfrac{sin^2x+\left(1+cosx\right)^2}{sinx\left(1+cosx\right)}\)

\(=\dfrac{sin^2x+cos^2x+2\cdot cosx+1}{sinx\left(1+cosx\right)}\)

\(=\dfrac{2\cdot cosx+2}{sinx\left(1+cosx\right)}=\dfrac{2}{sinx}\)

6: \(\left(sinx+cosx-1\right)\left(sinx-cosx+1\right)-2\cdot cosx\left(1-cosx\right)\)

\(=sin^2x-\left(cosx-1\right)^2-2cosx+2\cdot cos^2x\)

\(=sin^2x-\left(cos^2x-2\cdot cosx+1\right)-2\cdot cosx+2\cdot cos^2x\)

\(=sin^2x-cos^2x+2\cdot cosx-1-2\cdot cosx+2\cdot cos^2x\)

\(=sin^2x+cos^2x-1=1-1=0\)

=>\(\left(sinx+cosx-1\right)\left(sinx-cosx+1\right)=2\cdot cosx\left(1-cosx\right)\)

=>\(\dfrac{sinx+cosx-1}{1-cosx}=\dfrac{2cosx}{sinx-cosx+1}\)

1) Ta có: \(sin^2x+cos^2x=1\Leftrightarrow\left(sin^2x+cos^2x\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow sin^4x+2sin^2x\cdot cos^2x+cos^4x=1\)

\(\Leftrightarrow sin^4x+cos^4x=1-2sin^2x\cdot cos^2x\)

P/s: Chắc là thừa mất dấu (+) ở vế phải chứ nếu nó có (+) thì ko đúng 

2) Ta có: \(sin^2x+cos^2x=1\Leftrightarrow\left(sin^2x+cos^2x\right)^3=1\)

\(\Leftrightarrow sin^6x+cos^6x+3sin^2x\cdot cos^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)=1\)

\(\Leftrightarrow sin^6x+cos^6x=1-3sin^2x\cdot cos^2x\)

3) Ta có: \(sin^4-cos^4x=sin^4x+cos^4x-2cos^4x\)

\(=1-2sin^2x\cdot cos^2x-2cos^4x\) (theo p1)

\(=1-2cos^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)\)

\(=1-2cos^2x\)

4) Ta có: \(\dfrac{1-cosx}{sinx}=\dfrac{\left(1-cosx\right)\left(1+cosx\right)}{sinx\left(1+cosx\right)}=\dfrac{1-cos^2x}{sinx\left(1+cosx\right)}=\dfrac{sin^2x}{sinx\left(1+cosx\right)}=\dfrac{sinx}{1+cosx}\)5) Ta có:

\(\dfrac{sinx}{1+cosx}+\dfrac{1+cosx}{sinx}=\dfrac{sin^2x+\left(1+cosx\right)^2}{sinx\left(1+cosx\right)}\)

\(=\dfrac{sin^2x+cos^2x+1+2cosx}{sinx\left(1+cosx\right)}\)

\(=\dfrac{2\left(1+cosx\right)}{sinx\left(1+cosx\right)}=\dfrac{2}{sinx}\)

6) \(\dfrac{sinx+cosx-1}{1-cosx}=\dfrac{\left(sinx+cosx-1\right)\left(sinx+cosx+1\right)}{\left(1-cosx\right)\left(sinx+cosx+1\right)}\)

\(=\dfrac{\left(sinx+cosx\right)^2-1}{sinx+cosx+1-sinx\cdot cosx-cos^2x-cosx}\)

\(=\dfrac{sin^2x+cos^2x+2sinx\cdot cosx-1}{sinx+sin^2x+cos^2x-sinx\cdot cosx-cos^2x}\)

\(=\dfrac{2sinx\cdot cosx}{sinx\left(sinx-cosx+1\right)}\)

\(=\dfrac{2cosx}{sinx-cosx+1}\)

BẠN NÀO LÀM ĐƯỢC CÂU NÀO THÌ LÀM THÔI NHA

Bạn ghi lại đề đi bạn

a: BC=BH+CH

=3+9

=12(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

=>\(AH^2=3\cdot9=27\)

=>\(AH=3\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{3\cdot12}=6\left(cm\right)\\AC=\sqrt{9\cdot12}=6\sqrt{3}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

b: \(tan^2C+cot^2C\)

\(=\left(\dfrac{AC}{AB}\right)^2+\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2\)

\(=\dfrac{AC^2}{AB^2}+\dfrac{AB^2}{AC^2}\)

\(=\dfrac{HC\cdot BC}{HB\cdot BC}+\dfrac{HB\cdot BC}{HC\cdot CB}\)

\(=\dfrac{HC}{HB}+\dfrac{HB}{HC}\)

`+,` Tính `ED`

Trong tam giác `BDC` vuông ta có hệ thức lượng :

`BE^2=ED* CE`

`48^2=ED*36`

`=> ED= (48^2)/36=64`

`+,` Tính `BC`

Ta có hệ thức lượng là :

`BC^2= DC*EC`

`= (64+36) * 36`

`= 3600`

\(\Rightarrow BC=\sqrt{3600}=60\)

`+,` Tính `BD` 

Ta có hệ thức lượng là :

`BD^2= DC *ED`

`= 100 * 64`

`=6400`

\(\Rightarrow BD=\sqrt{6400}=80\)

Tính gì v nhỉ ??

Sửa đề; NP=10cm

ΔMNP vuông tại M

=>\(MN^2+MP^2=NP^2\)

=>\(MP^2=10^2-6^2=64\)

=>MP=8(cm)

Xét ΔMNP vuông tại M có MH là đường cao

nên \(MH\cdot NP=MN\cdot MP\)

=>MH*10=6*8=48

=>MH=4,8(cm)

Xét ΔMNP vuông tại M có MH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}MN^2=NH\cdot NP\\PM^2=PH\cdot PN\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}NH=\dfrac{6^2}{10}=3,6\left(cm\right)\\PH=\dfrac{8^2}{10}=6,4\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

a) Ta có : 

\(BC^2=AB^2+AC^2\left(Pitago\right)\)

\(\Leftrightarrow AC^2=BC^2-AB^2=169-25=144\)

\(\Leftrightarrow AC=12\left(cm\right)\)

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{AB^2.+AC^2}{AB^2.AC^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{BC^2}{\left(AB.AC\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow AH^2=\dfrac{\left(AB.AC\right)^2}{BC^2}=\dfrac{\left(5.12\right)^2}{13^2}\)

\(\Leftrightarrow AH=\dfrac{5.12}{13}=\dfrac{60}{13}\sim4,85\left(cm\right)\)

\(sin\widehat{B}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{12}{13}\Rightarrow\widehat{B}\sim67^o\)

 a) ∆ABC vuông tại A (gt)

BC² = AB² + AC² (Pytago)A

⇒ AC² = BC² - AB²

= 13² - 5²

= 144

⇒ AC = 12 (cm)

Ta có:

AH.BC = AB.AC

⇒ AH = AB.AC : BC

= 5.12 : 13

= 60/13 (cm) ≈ 4,62 (cm)

sinB = AC/BC = 12/13

⇒ ∠B ≈ 67⁰

b) ∆AHB vuông tại H có HE là đường cao

⇒ HE² = AE . EB (1)

∆AHC vuông tại H có HF là đường cao

⇒ HF² = AF . FC (2)

Tứ giác AEHF có:

∠AEH = ∠EAF = ∠AFH = 90⁰

⇒ AEHF là hình chữ nhật

⇒ AH = EF

⇒ ∠EHF = 90⁰

∆EHF vuông tại H

⇒ EF² = HE² + HF²

⇒ AH² = HE² + HF²

Từ (1) và (2)

⇒ AE.EB + AF.FC = HE² + HF² = AH²

∆ABC vuông tại A vó AH là đường cao

⇒ AH² = HB.HC

⇒ AE.EB + AF.FC = HB.HC

⇒ AE.EB + AF.FC - HB.HC = 0

c) AH = EF đã chứng minh ở câu b

a: ΔACI vuông tại I

=>\(IA^2+IC^2=AC^2\)

=>\(IC^2=15^2-12^2=81\)

=>IC=9(cm)

Xét ΔCAB vuông tại A có AI là đường cao

nên \(CA^2=CI\cdot CB\)

=>CB=15^2/9=25(cm)

CI+IB=CB

=>IB+9=25

=>IB=16cm

ΔIAB vuông tại I

=>\(IA^2+IB^2=AB^2\)

=>\(AB^2=12^2+16^2=400\)

=>AB=20(cm)

b: Xét tứ giác AKIE có

\(\widehat{AKI}=\widehat{AEI}=\widehat{KAE}=90^0\)

Do đó: AKIE là hình chữ nhật

=>AI=KE

=>KE=12(cm)

1.

Do $a>1$ nên $a-1>0; 2a+1>0$. Khi đó

$A=\sqrt{(a-1)^2(2a+1)^2}=\sqrt{(a-1)^2}.\sqrt{(2a+1)^2}$
$=|a-1|.|2a+1|=(a-1)(2a+1)$

2.

$B=\sqrt{(b-1)(b+7)+16}=\sqrt{b^2+6b-7+16}=\sqrt{b^2+6b+9}$

$=\sqrt{(b+3)^2}=|b+3|=-(b+3)$ do $b+3<0$ với mọi $b< -3$