cho ΔABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) . các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và BE, CF gặp đường tròn (O;R) tại M,N. chứng minh rằng
a/ BFEC, DHEC nội tiếp
b/ EF // MN
c/ AB.AC=2R.AD
Bài 4:Cho ΔABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Hai đường cao AD, BE của ΔABC lầnlượt cắt đường tròn tại hai điểm M và N. AD cắt BE tại H.
1/ CM: 4 điểm A, E, D, B cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm I và bán kính của đường tròn đó.
2/ CM : DH.DA = DB.DC 3/ CMR: MN // DE. 4/ CM: △ACH = △ABE.
1: Xét tứ giác AEDB có
\(\widehat{AEB}=\widehat{ADB}=90^0\)
=>AEDB là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AB
Tâm I là trung điểm của AB
Bán kính là \(IA=\dfrac{AB}{2}\)
2: Xét ΔDBH vuông tại D và ΔDAC vuông tại D có
\(\widehat{DBH}=\widehat{DAC}\left(=90^0-\widehat{ACB}\right)\)
Do đó: ΔDBH đồng dạng với ΔDAC
=>DB/DA=DH/DC
=>\(DB\cdot DC=DA\cdot DH\)
3: ABDE là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{ADE}=\widehat{ABE}=\widehat{ABN}\)
Xét (O) có
\(\widehat{ABN}\) là góc nội tiếp chắn cung AN
\(\widehat{AMN}\) là góc nội tiếp chắn cung AN
Do đó: \(\widehat{ABN}=\widehat{AMN}\)
=>\(\widehat{HDE}=\widehat{HMN}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị
nên DE//MN
Cho ΔABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O ;R) các đường cao AD,BE cắt nhau tại H , kéo dài BE cắt (O) tại F
a, cm : tg CDHE nội tiếp
b, Gọi M là trung điểm của AB
cm : ME là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔCDE
c, Cho BC cố định và BC = R \(\sqrt{3}\)
Xác định vị trí của A trên (O) để DH.DA đạt GTLN
a.
Xét tứ giác CDHE có:
\(\widehat{CDH}+\widehat{CEH}=90^o+90^o=180^o\)
Do đó: tứ giác CDHE là tứ giác nội tiếp.
b. Gọi I là trung điểm của HC
=> I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEC
Có: EM là trung tuyến tam giác vuông BEA
=> \(\widehat{MEB}=\widehat{MBE}\)
EI là trung tuyến tam giác vuông HEC
=> \(\widehat{IEH}=\widehat{IHE}\)
Mà: \(\widehat{MBE}=\widehat{ECH}\) (cùng phụ \(\widehat{BAC}\) )
=> \(\widehat{MEI}=\widehat{MEH}+\widehat{IEH}=\widehat{ECH}+\widehat{EHI}=90^o\)
=> ME vuông góc EI hay ME là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE.
c. Xét tam giác vuông BDH và tam giác vuông ADC có:
\(\widehat{BHD}=\widehat{ACD}\) (cùng phụ \(\widehat{HBD}\) )
=> \(\Delta BDH\sim\Delta ADC\)
=> \(\dfrac{BD}{DA}=\dfrac{DH}{DC}\)
<=> \(DH.DA=BD.DC\le\left(\dfrac{BD+DC}{2}\right)^2=\dfrac{BC^2}{4}=\dfrac{3R^2}{4}\)
\(DH.DA\) max \(=\dfrac{3R^2}{4}\) khi và chỉ khi BD = DC <=> D là trung điểm của BC hay A là điểm chính giữa cung lớn BC.
☕T.Lam
Cho ΔABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) có H là trực tâm của ΔABC. Gọi R là điểm đối xứng của O qua BC. Chứng minh rằng R là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBHC.
Giúp mình với ạ!!!
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) (AB
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) (AB<AC) 3 đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H
a,CM tứ giác BFEC nội tiếp và xác định tâm I
b,Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại K . CM KF.KE=KB.KC
c,AK cắt (O) tại M. CM MFEA nội tiếp
jup mình vs ạ
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, nội tiếp đường tròn O. Hai đường cao AD, BE cắt nhau tại H. Chứng minh tứ giác ABDE nội tiếp đường tròn
Cho tam giác ABC có 3 gó nhọn , nội tiếp đường tròn O . Hai đường cao AD,BE cắt nhau tại H
a, chứng minh tứ giác ABDE nội tiếp đường tròn
b, Tia AO cắt đương tròn O tại K . Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành
Cho ΔABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R), đường kính AK . Ba đường cao
AD,BE,CF của ΔABC cắt nhau tại H . Gọi M là hình chiếu vuông góc của C trên AK .
a) Chứng minh rằng tứ giác AEHF nội tiếp.
b) Chứng minh rằng ΔABD đồng dạng với ΔAKC và AB.AC=2R.AD .
c) Giả sử BC là dây cố định của đường tròn (O) còn A di động trên cung lớn BC.
Tìm vị trí của điểm A để diện tích tam giác AEH lớn nhất.
\(\)cho ΔABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Các phân giác của các góc \(\widehat{ABC}\), ần lượt cắt đường tròn E,F
a) chứng minh rằng: OF ⊥ AB và OE ⊥ AC
b) gọi M là giao điểm của OF và AB; N là giao điểm của OE và AC
Làm câu `b,` thôi ạ
Cho ΔABC nhọn có AB<AC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I). Điểm D thuộc AC sao cho $\widehat{ABD}=\widehat{ACB}$, đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp ΔDIC tại E và cắt (O) tại Q. Đường thẳng đi qua E và song song AB cắt BD tại P
a, CMR: ΔQBI cân và BP.BI=BE.BQ
b, Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp ΔABD và K là trung điểm EJ. CMR: PK song song JB
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O),đường cao AH.Kẻ đường kính AM.
a.Tính góc ACM.
b.Chứng minh góc BAH = góc OA
\(a,\widehat{ACM}=90^0\) (góc nt chắn nửa đg tròn)
\(b,\widehat{BAH}+\widehat{ABH}=90^0;\widehat{OAC}+\widehat{AMC}=90^0\left(\widehat{ACM}=90^0\right)\)
Mà \(\widehat{ABH}=\widehat{AMC}\left(=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AC}\right)\)
Do đó \(\widehat{BAH}=\widehat{OAC}\)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. Vẽ tiếp tuyến của đường tròn O tại A. Đường thẳng EF cắt đường tròn O tại I Và K a) CM: các tứ giác BFHD,BFEC nội tiếp b) CM:EB là tia phân giác của góc FED c)CM: OA vuông góc IK d) gọi S là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCE,đường thẳng vuô g góc với HS tại S cắt AB tại P, cắt AC tại Q và cắt AD tại G. Chứng minh PG=GQ
a: góc BDH+góc BFH=180 độ
=>BDHF nội tiếp
góc BFC=góc BEC=90 dộ
=>BFEC nội tiếp
b: góc FEB=góc BAD
góc DEB=góc FCB
mà góc BAD=góc FCB
nên góc FEB=góc DEB
=>EB là phân giác của góc FED
c: Kẻ tiếp tuyến Ax của (O)
=>góc xAC=góc ABC=góc AEF
=>Ax//FE
=>FE vuông góc OA
=>OA vuông góc IK