Câu b sai đề nha e: sửa lại thành \(BE.AB.CF.AC=AH^4\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AEH}=90^o\\\widehat{AFH}=90^o\\\widehat{EAF}=90^o\end{matrix}\right.\)=> tứ giác \(AEHF\) là h.c.n

=> \(\widehat{AEF}=\widehat{EAH}=\widehat{ACH}\)

Xét tam giác AEF và tam giác ACB có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{A}=90^o\left(\text{góc chung}\right)\\\widehat{AEF}=\widehat{ACB}\end{matrix}\right.\)

=> \(\Delta AEF\sim\Delta ACB\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AC}{AB}\left(\text{tương ứng}\right)\) \(\Rightarrow AE.AB=AC.AF\)

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác AHB có: \(\left\{{}\begin{matrix}\text{đường cao HE}\\\widehat{H}=90^o\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow BE.AB=BH^2\)

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác AHC có: \(\left\{{}\begin{matrix}\text{đường cao HF}\\\widehat{H}=90^o\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow CF.CA=HC^2\)

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC có: \(\left\{{}\begin{matrix}\text{đường cao AH}\\\widehat{A}=90^o\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow HB.HC=AH^2\)\(\Rightarrow\left(HB.HC\right)^2=AH^4\)

\(\Rightarrow BE.AB.CF.AC=AH^4\)

Tứ giác AEHF là hình chữ nhật (có 3 góc vuông) \(\Rightarrow HE=AF\)

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AFH:

\(AH^2=AF^2+HF^2=HE^2+HF^2\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AHB với đường cao HF:

\(HF^2=AF.FC\)

Tương tự:

\(HE^2=AE.EB\)

\(\Rightarrow AH^2=HE^2+HF^2=AE.EB+AF.FC\) (đpcm)

Gọi O là giao của EF và AH, K là giao AM và EF

Vì \(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{FAE}=90^0\) nên AEHF là hcn

Do đó \(OE=OF=OH=OA\)

\(\Rightarrow\Delta AOF\) cân tại O \(\Rightarrow\widehat{AFO}=\widehat{FAO}\left(1\right)\)

Vì AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên \(AM=BM=CM=\dfrac{1}{2}BC\)

\(\Rightarrow\Delta AMC\) cân tại M \(\Rightarrow\widehat{MCA}=\widehat{MAC}\left(2\right)\)

Vì tam giác AHC vuông tại H nên \(\widehat{MCA}+\widehat{FAO}=90^0\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow\widehat{MAC}+\widehat{AFO}=90^0\)

Mà \(\widehat{AFO}+\widehat{MAC}+\widehat{AKF}=180^0\Rightarrow\widehat{AKF}=90^0\)

Vậy AM vuông góc EF

a: Xét ΔAHB vuông tạiH và ΔCAB vuông tại A có

góc B chung

=>ΔAHB đồng dạng với ΔCAB

b: góc ADH=góc AEH=góc DAE=90 độ

=>ADHE là hình chữ nhật

c:

\(BC=\sqrt{9^2+12^2}=15\left(cm\right)\)

 \(AH=\dfrac{9\cdot12}{15}=7.2\left(cm\right)\)

=>DE=7,2cm

Bạn tự vẽ hình.

(a) \(BC^2=AB^2+AC^2\left(Pythagoras\right)\)

\(\Rightarrow AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\left(cm\right)\)

+) \(sinB=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4}{5}\Rightarrow\hat{B}\approx53^o\)

+) \(\hat{C}=90^o-\hat{B}\approx90^o-53^o=37^o\)

(b) +) \(AB.AC=BC.AH\Leftrightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{3\cdot4}{5}=2,4\left(cm\right)\)

\(\hat{A}=\hat{E}=\hat{F}=90^o\left(gt\right)\Rightarrow AEHF\) là hình chữ nhật.

Do đó, \(EF=AH\left(đpcm\right)\)

Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB

nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(AF\cdot AC=HA^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

Xét ΔHAB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AH^2\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HF là đường cao

nên \(AF\cdot AC=AH^2\)

\(S_{AEF}=\dfrac{1}{16}\cdot S_{ABC}\)

=>\(\dfrac{1}{2}\cdot AE\cdot AF=\dfrac{1}{16}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\)

=>\(AE\cdot AF=\dfrac{1}{16}\cdot AB\cdot AC\)

=>\(\dfrac{AH^2}{AB}\cdot\dfrac{AH^2}{AC}=\dfrac{1}{16}\cdot AB\cdot AC\)

=>\(AH^4=\dfrac{1}{16}\cdot AB^2\cdot AC^2\)

=>\(AH^2=\dfrac{1}{4}\cdot AB\cdot AC=\dfrac{1}{4}\cdot AH\cdot BC\)

=>\(AH=\dfrac{1}{4}\cdot BC\)

Gọi M là trung điểm của BC

=>AH vuông góc HM tại H

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên \(AM=\dfrac{1}{2}BC\)=MB=MC

=>\(\dfrac{AH}{AM}=\dfrac{1}{2}\) và ΔMAC cân tại M

Xét ΔAHM vuông tại H có

\(sinAMH=\dfrac{AH}{AM}=\dfrac{1}{2}\)

=>\(\widehat{AMB}=30^0\)

=>\(\widehat{AMC}=150^0\)

ΔMAC cân tại M

=>\(\widehat{MCA}=\dfrac{180^0-\widehat{AMC}}{2}=15^0\)

=>\(\widehat{ACB}=15^0\)

a) Ta có: \(BC=13cm\Rightarrow BC^2=13^2cm=169cm\)

Xét: \(AB^2+AC^2=5^2+12^2=25+144=169=13^2=BC^2\)

Vậy tam giác ABC vuông tại A có cạnh huyền BC

b) Áp dụng định lý thích hai cạnh góc vuông tà tích giữa cạnh huyền và đường cao ta có:

\(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

\(\Rightarrow AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{12\cdot5}{13}\approx4,6\left(cm\right)\)

c) Xét ΔAHB vuông tại H có đường cao HE ta có:  

\(\Rightarrow AH^2=AE\cdot AB\) (1)

Xét ΔAHC vuông tại H có đường cao HF ta có:

\(\Rightarrow AH^2=AF\cdot AC\) (2) 

Từ (1) và (2) 

\(\Rightarrow AB\cdot AE=AC\cdot AF\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AF}=\dfrac{AC}{AE}\) (3) 

Dựa vào (3) 

Ta suy ra: \(\Delta AEF\sim\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\) (đpcm)

a: Xét ΔÂBC có BC^2=AB^2+AC^2

nên ΔABC vuông tại A

b: AH=AB*AC/BC=60/13(cm)

c: ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao

nên AE*AB=AH^2

ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao

nên AF*AC=AH^2

=>AE*AB=AF*AC

=>AE/AC=AF/AB

=>ΔAEF đồng dạng với ΔACB

=>góc AFE=góc ABC