Bài 8: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

a: ΔABC vuông tại A

=>\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\left(1\right)\)

Ta có: ΔABC có AH là đường cao

=>\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AH\cdot BC\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AB\cdot AC=AH\cdot BC\)

b: Xét ΔAMH vuông tại M và ΔAHB vuông tại H có

\(\widehat{MAH}\) chung

Do đó: ΔAMH~ΔAHB

=>\(\dfrac{AM}{AH}=\dfrac{AH}{AB}\)

=>\(AH^2=AM\cdot AB\left(3\right)\)

Xét ΔANH vuông tại N và ΔAHC vuông tại H có

\(\widehat{NAH}\) chung

Do đó: ΔANH~ΔAHC

=>\(\dfrac{AN}{AH}=\dfrac{AH}{AC}\)

=>\(AH^2=AN\cdot AC\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

=>\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\)

Xét ΔAMN và ΔACB có

\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\)

\(\widehat{MAN}\) chung

Do đó: ΔAMN~ΔACB

Vì `ΔBHA` vuông tại `H` nên áp dụng định lí Pythagore `:`

`BH^2 +AH^2 = AB^2`

`<=>9^2 + 12^2 = AB^2`

`<=>225=AB^2`

`=>AB = sqrt(225)=15`

Vì `ΔAHC` vuông tại `H`  nên áp dụng định lí Pythagore `:`

`AH^2 + HC^2 = AC^2`

`<=> 12^2 + 16^2 = AC^2`

`<=>400=AC^2

`=>AC = sqrt(400)=20`

a: Xét ΔABC có AH là đường cao

nên \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AH\cdot BC\left(1\right)\)

Ta có: ΔABC vuông tại A

=>\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

Ta có: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=15^2+20^2=625\)

=>\(BC=\sqrt{625}=25\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot25=15\cdot20=300\)

=>\(AH=\dfrac{300}{25}=12\left(cm\right)\)

b: Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(3\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

=>\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\)

Xét ΔAMN vuông tại A và ΔACB vuông tại A có

\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\)

Do đó: ΔAMN đồng dạng với ΔACB

c: Ta có: ΔABC vuông tại A

mà AK là đường trung tuyến

nên AK=KC=KB

Ta có: KA=KC

=>ΔKAC cân tại K

=>\(\widehat{KAC}=\widehat{KCA}\)

Ta có: ΔAMN đồng dạng với ΔACB

=>\(\widehat{ANM}=\widehat{ABC}\)

Ta có: \(\widehat{KAC}+\widehat{ANM}\)

\(=\widehat{ABC}+\widehat{KCA}=90^0\)

=>AK\(\perp\)MN tại I

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2;CH\cdot BC=CA^2\)

=>\(BH\cdot25=15^2=225;CH\cdot25=20^2=400\)

=>BH=225/25=9(cm); CH=400/25=16(cm)

Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\)

=>\(AM\cdot15=12^2\)=144

=>AM=144/15=9,6(cm)

Ta có: AMHN là hình chữ nhật

=>AH=MN

mà AH=12cm

nênMN=12cm

Ta có: ΔANM vuông tại A

=>\(AN^2+AM^2=NM^2\)

=>\(AN^2+9,6^2=12^2\)

=>AN=7,2(cm)

Xét ΔIMA vuông tại I và ΔAMN vuông tại A có

\(\widehat{IMA}\) chung

Do đó: ΔIMA đồng dạng với ΔAMN

=>\(\dfrac{S_{IMA}}{S_{AMN}}=\left(\dfrac{AM}{MN}\right)^2=\left(\dfrac{4}{5}\right)^2=\dfrac{16}{25}\)

=>\(S_{IMA}=\dfrac{16}{25}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot AM\cdot AN=22,1184\left(cm^2\right)\)

Chọn D

a: Xét ΔBAH vuông tại H và ΔACH vuông tại H có

góc BAH=góc ACH

=>ΔHBA đồng dạg với ΔHAC
b: ΔHBA đồng dạng với ΔHAC
=>HB/HA=HA/HC

=>HA^2=HB*HC

c: BC=căn 6^2+8^2=10cm

Xét ΔBAH vuông tại H và ΔBCA vuông tại A có

góc B chung

=>ΔBAH đồng dạng với ΔBCA

=>S BAH/S BCA=(BA/BC)^2=9/25

a: HE vuông góc AC

AB vuông góc AC

=>HE//AB

b: Xét ΔCAH vuông tại H và ΔCBA vuông tại A có

góc ACH chung

=>ΔCAH đồng dạng với ΔCBA

c: Xét ΔKEH và ΔKBA có

góc KEH=góc KBA

góc EKH=góc BKA

=>ΔKEH đồng dạng với ΔKBA

=>KE/KB=KH/KA

=>EK/EB=HK/HA

Xét ΔEAB có MK//AB

nên MK/AB=EK/EB

Xét ΔHAB có KN//AB

nên KN/AB=HK/HA

=>MK/AB=KN/AB

=>MK=KN

Xét ΔABM vuông tại M và ΔACI vuông tại I có

góc BAM chung

=>ΔABM đồng dạng với ΔACI

Ta có:

`hat{BAM}=\hat{CAI}` (vì cả hai đều bằng góc nội tiếp cùng nhìn vào cung `AC`)

`hat{ABM}=hat{AIC}=90^o` (vì `BM` vuông góc với `AC` và `CI` vuông góc với `AB`)

Và `hat{BMA}=hat{CIA}` (vì chúng là các góc đối diện với cạnh `AB`)

`=>` Theo góc-góc, ta có `△ABM` đồng dạng `△ACI`