EH // AC (EH _I_ AB và AC _I_ AB)
\(\Rightarrow\dfrac{BE}{AB}=\dfrac{BH}{BC}\Rightarrow BE=\dfrac{BH}{BC}\times AB\) (hệ quả của định lý Talet)
FH // AB (FH _I_ AC và AB _I_ AC)
\(\Rightarrow\dfrac{CF}{AC}=\dfrac{CH}{BC}\Rightarrow CF=\dfrac{CH}{BC}\times AC\) (hệ quả của định lý Talet)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A:
(+) \(AH\times BC=AB\times AC\Rightarrow AH=\dfrac{AB\times AC}{BC}\)
(+) \(AH^2=BH\times CH\)
Ta có:
\(BC\times BE\times CF=BC\times\dfrac{BH}{BC}\times AB\times\dfrac{CH}{BC}\times AC\)
\(=\left(BH\times CH\right)\times\left(\dfrac{AB\times AC}{BC}\right)=AH^2\times AH=AH^3\left(\text{đ}pcm\right)\)
Đề: \(\dfrac{EB}{FC}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)
AEHF là hình chữ nhật \(\left(\widehat{HEA}=\widehat{EAF}=\widehat{\text{AF}H}=90^0\right)\)
=> AE = EH = HF = FA
\(\Delta AEF~\Delta ACB\left(g.g\right)\Rightarrow\dfrac{\text{AF}}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\Rightarrow\dfrac{\text{AF}}{AE}=\dfrac{AB}{AC}\)
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác giác HAB vuông tại H:
\(EH^2=BE\times AE\Rightarrow BE=\dfrac{EH^2}{AE}\)
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác giác HAC vuông tại H:
\(FH^2=FC\times FA\Rightarrow FC=\dfrac{FH^2}{FA}\)
Ta có:
\(\dfrac{BE}{FC}=\dfrac{\dfrac{EH^2}{AE}}{\dfrac{FH^2}{FA}}=\left(\dfrac{FA}{AE}\right)^3=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\left(\text{đ}pcm\right)\)
