a:

I nằm giữa O và A

=>OI+IA=OA

=>OI=OA-AI

=R-R'

=>(O) với (I) tiếp xúc nhau tại A

b: ΔIAD cân tại I

=>góc IAD=góc IDA

=>góc IDA=góc OAC

ΔOAC cân tại O

=>góc OAC=góc OCA

=>góc IDA=góc OCA
mà hai góc này đồng vị

nên ID//OC

c: Xét (I) có

ΔADO nội tiếp

AO là đường kính

=>ΔADO vuông tại D

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó; ΔACB vuông tại C

Xét ΔACB vuông tại C có cos CAB=AC/AB=1/2*căn 3

=>góc CAB=30 độ

CB=căn AB^2-AC^2=R/2

\(S_{CAB}=\dfrac{1}{2}\cdot CA\cdot CB=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}R=\dfrac{R^2\sqrt{3}}{8}\)

Xét ΔADO vuông tại D và ΔACB vuông tại C có

góc DAO chung

Do đó: ΔADO đồng dạng với ΔACB

=>\(\dfrac{S_{ADO}}{S_{ACB}}=\left(\dfrac{AO}{AB}\right)^2=\left(\dfrac{1}{4}\right)\)

=>\(S_{ODCB}=\dfrac{3}{4}\cdot S_{ACB}=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{R^2\sqrt{3}}{8}=\dfrac{3\cdot\sqrt{3}\cdot R^2}{32}\)

b: Xét ΔIBD co IB=ID

nên ΔIBD cân tại I

c: O là trung điểm của AB

=>OA=OB=R

I là trung điểm của OA

=>OI=OA=0,5R

=>IB=1,5R

ΔIHA đồng dạng với ΔIBM

=>IH/IB=IA/IM

=>IH=3R/8

a) Phương trình đường tròn là: \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 81\)

b) Bán kính đường tròn là: \(R = IM = \sqrt {{{\left( {4 - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 1 + 2} \right)}^2}}  = \sqrt 2 \)

Phương trình đường tròn là: \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 2\)

c) Bán kính đường tròn là: \(R = \frac{{\left| {5.1 - 12.\left( { - 1} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = \frac{{16}}{{13}}\)

Phương trình đường tròn là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = {\left( {\frac{{16}}{{13}}} \right)^2}\)

d) Gọi \(I\left( {a;b} \right)\) là trung điểm AB. Vậy tọa độ điểm I là: \(I\left( {1;1} \right)\)

Bán kính đường tròn là: \(R = IA = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 4 - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {29} \)

Phương trình đường tròn là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 29\)

e) Giả sử  tâm đường tròn là điểm \(I\left( {a;b} \right)\). Ta có: \(IA = IB = IC \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2} = I{C^2}\)

Vì \(I{A^2} = I{B^2},I{B^2} = I{C^2}\) nên: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = {\left( {3 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2}\\{\left( {3 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = {\left( {0 - a} \right)^2} + {\left( {4 - b} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right.\)  b

Vậy \(I\left( {2;3} \right)\) và \(R = IA = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt 5 \)

Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A,B, C là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\)

Đáp án là B

Do AB là đường kính đường tròn (O); C nằm trên đường tròn nên ΔCAB vuông tại C

Mặt khác tâm đường tròn nội tiếp là giao điểm 3 đường phân giác trong

⇒ I thuộc cung chứa góc 45 0  dựng trên đoạn AB.

a) Tiếp tuyến tại A và B của (O) cắt nhau tại C.CM cắt (I) tại N'

Xét \(\Delta CAM\) và \(\Delta CN'A:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle ACN'chung\\\angle CAM=\angle CN'A\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta CAM\sim\Delta CN'A\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{CA}{CN'}=\dfrac{CM}{CA}\Rightarrow CA^2=CM.CN'\)

mà \(CA^2=CB^2\Rightarrow CB^2=CM.CN'\Rightarrow\dfrac{CB}{CM}=\dfrac{CN'}{CB}\)

Xét \(\Delta CBM\) và \(\Delta CN'B:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle BCN'chung\\\dfrac{CB}{CM}=\dfrac{CN'}{CB}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta CBM\sim\Delta CN'B\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle CBB=\angle CN'B\Rightarrow N'\in\left(J\right)\)

\(\Rightarrow N\equiv N'\Rightarrow MN\) luôn đi qua điểm C mà A,B cố định

\(\Rightarrow C\) cố định \(\Rightarrow\) đpcm

b) mình chỉ chứng minh được N thuộc 1 đường tròn cố định thôi,còn chạy trên đoạn thẳng hình như là ko được

Ta có: \(\angle ANB=\angle ANM+\angle BNM=\dfrac{1}{2}\angle AIM+\dfrac{1}{2}\angle BJM\)

Xét \(\Delta AIM\) và \(\Delta AOB:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle OABchung\\\dfrac{IA}{OA}=\dfrac{IM}{OB}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AIM\sim\Delta AOB\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle AIM=\angle AOB\)

Tương tự \(\Rightarrow\angle BJM=\angle AOB\)

\(\Rightarrow\angle ANB=\dfrac{1}{2}\angle AOB+\dfrac{1}{2}\angle AOB=\angle AOB\)

\(\Rightarrow N\in\left(AOB\right)\) mà A,O,B cố định \(\Rightarrow N\in\left(AOB\right)\) cố định

a: Xét tứ giác ABQK có 

\(\widehat{AQB}=\widehat{AKB}\left(=90^0\right)\)

Do đó: ABQK là tứ giác nội tiếp

hay A,B,Q,K cùng thuộc một đường tròn

Tâm là trung điểm của AB

b: Xét tứ giác AIHK có 

\(\widehat{AIH}+\widehat{AKH}=180^0\)

Do đó: AIHK là tứ giác nội tiếp

hay A,I,H,K cùng thuộc một đường tròn

Tâm là trung điểm của AH