a) H là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox nên tọa độ điểm H là \(H\left( {{x_0};0} \right)\)

b) M’ đối xứng với M qua  trục Ox nên H là trung điểm của MM’

Suy ra \({x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = 2{x_0} - {x_0} = {x_0};{y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = 2.0 - {y_0} =  - {y_0}\)

Vậy tọa độ điểm M’  là \(\left( {{x_0}; - {y_0}} \right)\)

c) K là hình chiếu vuông góc của M trên trục Oy  nên tọa độ điểm K  là \(K\left( {0;{y_0}} \right)\)

d) M’’ đối xứng với M qua  trục Oy nên K là trung điểm của MM’’

Suy ra \({x_{M''}} = 2{x_K} - {x_M} = 2.0 - {x_0} =  - {x_0};{y_{M''}} = 2{y_K} - {y_M} = 2{y_0} - {y_0} = {y_0}\)

Vậy tọa độ điểm M''  là \(\left( { - {x_0};{y_0}} \right)\)

e) C đối xứng với M qua  gốc tọa độ nên O là trung điểm của MC

Suy ra \({x_C} = 2{x_O} - {x_M} = 2.0 - {x_0} =  - {x_0};{y_C} = 2{y_O} - {y_M} = 2.0 - {y_0} =  - {y_0}\)

Vậy tọa độ điểm C  là \(\left( { - {x_0}; - {y_0}} \right)\)

Để chứng minh điều kiện dh.dK không đổi, ta sẽ sử dụng tính chất của hình chiếu. Gọi E là hình chiếu của M lên AB. Ta có thể thấy rằng tam giác ADE và tam giác AKH đồng dạng với nhau. Vì vậy, ta có thể sử dụng tỉ lệ đồng dạng để tính toán.

Giả sử cạnh của hình vuông là a. Khi đó, ta có AE = a - DM và AK = a - DH. Từ đó, ta có tỉ lệ đồng dạng sau:

AE/AK = DE/DH

(a - DM)/(a - DH) = DE/DH

Sau khi thực hiện phép tính, ta sẽ có:

DM = (2a^2)/3

Điểm M sẽ nằm ở vị trí để độ dài dh.dK đạt giá trị nhỏ nhất khi DM có giá trị như trên.

Còn về vị trí cụ thể của điểm M, để xác định nó, chúng ta cần thêm thông tin về vị trí của điểm M trên cạnh BC.

Chọn D.

Gọi Δ là đường thẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng d.

d: x - 2y - 3 = 0

⇒ 2.(x - 0) + 1.(y - 1) = 0 ⇔ 2x + y - 1 = 0

Gọi H = d ∩ (Δ). Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình:

Gọi E là trung điểm AC, do H và K cùng nhìn AC dưới 1 góc vuông nên H, K thuộc đường tròn đường kính AC (1)

\(\Rightarrow EH=EK\) hay E nằm trên trung trực HK

Gọi F là trung điểm HK \(\Rightarrow F\left(2;-1\right)\)

\(\overrightarrow{HK}=\left(14;-8\right)=2\left(7;-4\right)\Rightarrow\) EF nhận (7;-4) là 1 vtpt

Phương trình EF: \(7\left(x-2\right)-4\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow7x-4y-18=0\)

 Tọa độ E là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x-y+10=0\\7x-4y-18=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow E\left(\dfrac{58}{3};\dfrac{88}{3}\right)\)

\(\widehat{ACH}=\widehat{HAK}\) (cùng phụ \(\widehat{ABC}\)) \(\Rightarrow AH=HK\) 

Mà \(AE=EK\) theo (1) \(\Rightarrow AK\) là trung trực EH

\(\overrightarrow{HE}=\left(\dfrac{73}{3};\dfrac{103}{3}\right)=\dfrac{1}{3}\left(73,103\right)\) \(\Rightarrow AK\) nhận \(\left(103;-73\right)\) là 1 vtpt

Tới đây bạn hãy kiểm tra lại số liệu, số liệu quá bất hợp lý

Tính tiếp như sau:

Viết pt AK (biết đi qua K và có vtpt như trên)

Tìm tọa độ giao điểm P của EH và AK

Khi đó P là trung điểm AK, tìm tọa độ A dễ dàng bằng công thức trung điểm

\(SB=\sqrt{SA^2+AB^2}=2a\)

\(\dfrac{V_{SAHM}}{V_{SABC}}=\dfrac{SH}{SB}.\dfrac{SM}{SC}=\left(\dfrac{SA}{SB}\right)^2.\dfrac{SM}{SC}=\left(\dfrac{a}{2a}\right)^2.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}\)

\(a,\left\{{}\begin{matrix}BM=MC\\MH//AC\left(\perp AB\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow AH=HB\) hay H là trung điểm AB

\(b,\left\{{}\begin{matrix}BM=MC\\AH=HB\end{matrix}\right.\Rightarrow MH\) là đtb tg ABC

\(\Rightarrow MH=\dfrac{1}{2}AC\)

Mà \(AC^2=BC^2-AB^2=144\left(pytago\right)\Rightarrow AC=12\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow MH=6\left(cm\right)\)