Bài 2: Dãy số

Yêu cầu đề bài là gì vậy bạn?

\(\lim\left(u_n-2\right)=0\) ;\(\forall n\Rightarrow\lim\left(u_n\right)=2\)

\(\Rightarrow\lim\left(u_n^2+2u_n-1\right)=2^2+2.2-1=7\)

a) Đặt \(v_n=u_n+\dfrac{1}{2}\). Khi đó \(v_1=3+\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{2}\).

Ta có \(v_n-\dfrac{1}{2}=5\left(v_{n-1}-\dfrac{1}{2}\right)+2\Leftrightarrow v_n=5v_{n-1}\).

Áp dụng liên tiếp n - 1 lần ta được: \(v_n=5v_{n-1}=5^2v_{n-2}=...=5^{n-1}v_1=\dfrac{5^{n-1}.7}{2}\).

Từ đó \(u_n=\dfrac{5^{n-1}.7-1}{2}\).

Suy ra \(u_7=\dfrac{5^6.7-1}{2}=54687\).

b) Ta có \(v_n=273437\Leftrightarrow\dfrac{5^{n-1}.7-1}{2}=273437\Leftrightarrow n=8\).

Vậy 273437 là số hạng thứ 8 của dãy.

Bạn xem lại xem viết đề có thiếu/nhầm gì không?

Đặt \(v_n=u_n^2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=2851\\v_{n+1}=v_n+n\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=2851\\v_{n+1}-\dfrac{1}{2}\left(n+1\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(n+1\right)=v_n-\dfrac{1}{2}n^2+\dfrac{1}{2}n\end{matrix}\right.\)

Đặt \(v_n-\dfrac{1}{2}n^2+\dfrac{1}{2}n=x_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=2851\\x_{n+1}=x_n=...=x_1=2851\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow v_n=\dfrac{1}{2}n^2-\dfrac{1}{2}n+2851\)

\(\Rightarrow u_n=\sqrt{\dfrac{1}{2}n^2-\dfrac{1}{2}n+2851}\Rightarrow u_{2020}=1429\)

Ta chứng minh bằng quy nạp:

- Với \(n=1\Rightarrow x_1>\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0\) đúng do \(x_n>0;\forall n\)

- Giả sử điều đó đúng với \(n=k>1\) hay \(x_k>\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2k}\)

Ta cần chứng minh \(x_{k+1}>\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2\left(k+1\right)}=\dfrac{k}{2\left(k+1\right)}\)

Thật vậy, ta có:

\(x_{k+1}\left(1-x_k\right)\ge\dfrac{1}{4}\Rightarrow x_{k+1}\ge\dfrac{1}{4-4x_k}>\dfrac{1}{4-4\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2k}\right)}\)

\(\Rightarrow x_{k+1}>\dfrac{1}{2+\dfrac{2}{k}}=\dfrac{k}{2\left(k+1\right)}\) (đpcm)

Ta có: \(x_{k+1}-x_k=x_{k+1}+\left(1-x_k\right)-1\ge2\sqrt{x_{k+1}\left(1-x_k\right)}-1\ge2\sqrt{\dfrac{1}{4}}-1=0\)

\(\Rightarrow x_{k+1}\ge x_k\Rightarrow\) dãy tăng và bị chặn trên (dãy bị chặn theo theo giả thiết \(x_n< 1\))

\(\Rightarrow\) Dãy có giới hạn

Gọi giới hạn của dãy là a

\(\Rightarrow a\left(1-a\right)\ge\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{2}\)

Quy nạp 1 cách đơn giản, ta dễ dàng chứng minh dãy dương

Lại có: \(v_{n+1}=\dfrac{2v_n}{1+2018v_n^2}\le\dfrac{2v_n}{2\sqrt{1.2018v_n^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2018}}\)

\(\Rightarrow\) Dãy bị chặn trên bởi \(\dfrac{1}{\sqrt{2018}}\) hay \(v_n\le\dfrac{1}{\sqrt{2018}}\Leftrightarrow v_n^2\le\dfrac{1}{2018}\)  ; \(\forall n\ge1\)

\(\Leftrightarrow1-2018v_n^2\ge0\)

Ta có: \(v_{n+1}-v_n=\dfrac{2v_n}{1+2018v_n^2}-v_n=\dfrac{v_n-2018v_n^3}{1+2018v_n^2}=\dfrac{v_n\left(1-2018v_n^2\right)}{1+2018v_n^2}\ge0\)

\(\Rightarrow v_{n+1}\ge v_n\) (đpcm)

\(u_{n+1}=\dfrac{2u_n}{u_n+4}\Leftrightarrow\dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{u_n}\)

Đặt \(v_n=\dfrac{1}{u_n}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=1\\v_{n+1}=2v_n+\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=1\\v_{n+1}+\dfrac{1}{2}=2\left(v_n+\dfrac{1}{2}\right)\end{matrix}\right.\)

Đặt \(v_n+\dfrac{1}{2}=x_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{3}{2}\\x_{n+1}=2x_n\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x_n\) là CSN với công bội 2 \(\Rightarrow x_n=\dfrac{3}{2}.2^{n-1}=3.2^{n-2}\)

\(\Leftrightarrow v_n=x_n-\dfrac{1}{2}=3.2^{n-2}-\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow u_n=\dfrac{1}{v_n}=\dfrac{1}{3.2^{n-2}-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2}{3.2^{n-1}-1}\)

Cho \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\u_{n+1}=2u_n+6\end{matrix}\right.\)

Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau