Bài 3: Cấp số cộng

I. ĐỊNH NGHĨA

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi \(d\).

Số \(d\) được gọi là công sai của cấp số cộng.

Nếu \(\left(u_n\right)\) là cấp số cộng với công sai \(d\), ta có công thức truy hồi:

            \(u_{n+1}=u_n+d\) với \(n\in N\)*     (1).

Đặc biệt khi \(d=0\) thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

Ví dụ 1: Dãy số \(1;-3;-7;-11;-15\) là một cấp số cộng với công sai \(d=-4\) ;

             Dãy số \(\dfrac{1}{3};\dfrac{5}{6};\dfrac{4}{3};\dfrac{11}{6};\dfrac{7}{3}\) là một cấp số cộng với công sai \(d=\dfrac{1}{2}\).

Ngoài các cấp số cộng có hữu hạn phần tử, người ta còn xét những cấp số cộng có vô hạn phần tử. Ví dụ dãy các bội số dương của 3 là một cấp số cộng có vô hạn phần tử với số hạng đầu là 3 và công sai là 3.

II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

Định lí 1:

Nếu cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) có số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d\) thì số hạng tổng quát \(u_n\) được xác định bởi công thức:

          \(u_n=u_1+\left(n-1\right)d\) với \(n\ge2\)     (2).

Ta chứng minh được công thức (2) bằng phương pháp quy nạp.

Ví dụ 2: Cho cấp số cộng \(\left(u_n\right)\), biết \(u_1=-5,d=3\).

   a) Tìm \(u_{15}\).

   b) Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu?

   c) Biểu diễn các số hạng \(u_1,u_2,u_3,u_4,u_5\) trên trục số. Nhận xét vị trí của mỗi điểm \(u_2,u_3,u_4\) so với hai điểm liền kề.

Giải:

Cấp số cộng có \(u_1=-5,d=3\)

a) Theo công thức (2) ta có: \(u_{15}=-5+\left(15-1\right).3=37\)

b) Theo công thức (2) ta có \(u_n=-5+\left(n-1\right).3\).

Vì \(u_n=100\) nên \(-5+\left(n-1\right).3=100\), từ đó \(n=36\)

Vậy số 100 là số hạng thứ 36 của cấp số cộng.

c) Năm số hạng \(u_1,u_2,u_3,u_4,u_5\) của cấp số cộng lần lượt là \(-5;-2;1;4;7\) được biểu diễn tương ứng trên trục số:

Điểm \(u_3\) là trung điểm của đoạn \(u_2u_4\) hay \(u_3=\dfrac{u_2+u_4}{2}\)

Ta có kết quả tương tự với \(u_2\) và \(u_4\).

Ví dụ 3: Tìm số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d\) của cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) biết \(\left\{{}\begin{matrix}u_1-u_3+u_5=10\\u_1+u_6=17\end{matrix}\right.\).

Giải:

Áp dụng công thức (2) ta có:

      \(u_3=u_1+2d\)

      \(u_5=u_1+4d\)

      \(u_6=u_1+5d\)

Theo đề bài ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1-\left(u_1+2d\right)+\left(u_1+4d\right)=10\\u_1+\left(u_1+5d\right)=17\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+2d=10\\2u_1+5d=17\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=16\\d=-3\end{matrix}\right.\).

III. TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG

Định lí 2:

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

          \(u_k=\dfrac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}\) với \(k\ge2\).

Chứng minh:

Giả sử \(\left(u_n\right)\) là một cấp số cộng có công sai \(d\). Sử dụng công thức (1) với \(k\ge2\) ta có \(u_{k-1}=u_k-d\), \(u_{k+1}=u_k+d\)

Suy ra \(u_{k-1}+u_{k+1}=2u_k\) hay \(u_k=\dfrac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}\)

IV. TỔNG \(n\) SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG

Định lí 3:

Cho cấp số cộng \(\left(u_n\right)\). Đặt \(S_n=u_1+u_2+u_3+...+u_n\). Khi đó

         \(S_n=\dfrac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}\)     (4).

Chú ý:

Vì \(u_n=u_1+\left(n-1\right)d\) nên công thức (4) có thể viết:

         \(S_n=nu_1+\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}d\)   (4').

Ví dụ 3: Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=3n-1\).

     a) Chứng minh dãy \(\left(u_n\right)\) là cấp số cộng. Tìm \(u_1\) và \(d\).

     b) Tính tổng của 50 số hạng đầu.

     c) Biết \(S_n=260\). Hãy tìm \(n\).

Giải:

a) Vì \(u_n=3n-1\) nên \(u_1=2\)

Với \(n\ge1\), ta có \(u_{n+1}-u_n=3\left(n+1\right)-1-\left(3n-1\right)=3\)

Suy ra \(u_{n+1}=u_n+3\)

Vậy \(\left(u_n\right)\) là cấp số cộng với công sai \(d=3\).

b) Vì \(u_1=2\), \(d=3\), \(n=50\) nên theo công thức (4') ta có:

         \(S_{50}=50.2+\dfrac{50.49}{2}.3=3775\)

Vậy tổng của 50 số hạng đầu là 3775.

c) Vì \(u_1=2\), \(d=3\), \(S_n=260\) nên theo công thức (4') ta có:

         \(S_n=n.2+\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}.3=260\) hay \(3n^2+n-520=0\)

Giải phương trình bậc hai trên với \(n\in N\)*, ta tìm được \(n=13\).