Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

I. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên \(n\in N\)* là đúng với mọi \(n\) mà không thể thử trực tiếp được thì ta có thể làm như sau:

Bước 1 (bước cơ sở): Kiểm tra mệnh đề đúng với \(n=1\).

Bước 2 ( bước quy nạp): Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì \(n=k\ge1\) (ta gọi là giả thiết quy nạp) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n=k+1\). 

Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp.

II. VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với \(n\in N\)* thì

            \(1+3+5+...+\left(2n-1\right)=n^2\)    (1)

Giải:

Bước 1: Khi \(n=1\), vế trái chỉ có một số hạng là 1, vế phải bằng \(1^2\)

Vậy hệ thức (1) đúng.

Bước 2: Đặt vế trái bằng \(S_n\).

Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\ge1\), nghĩa là

             \(S_k=1+3+5+...+\left(2k-1\right)=k^2\) (giả thiết quy nạp).

Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với \(n=k+1\), tức là

            \(S_{k+1}=1+3+5+...+\left(2k-1\right)+\left[2\left(k+1\right)-1\right]=\left(k+1\right)^2\).

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

           \(S_{k+1}=S_k+\left[2\left(k+1\right)-1\right]=k^2+2k+1=\left(k+1\right)^2\)

Vậy hệ thức (1) đúng với mọi \(n\in N\)*.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với \(n\in N\)* thì \(n^3-n\) chia hết cho 3.

Giải:

Đặt \(A_n=n^3-n\)

Bước 1: Với \(n=1\), ta có \(A_1=0⋮3\)

Bước 2: Giả sử với \(n=k\ge1\) ta có 

              \(A_k=\left(k^3-k\right)⋮3\) (giả thiết quy nạp)

Ta chứng minh \(A_{k+1}⋮3\)

Thật vậy ta có:

            \(A_{k+1}=\left(k+1\right)^3-\left(k+1\right)=k^2+3k^2+3k+1-k-1\)

                     \(=\left(k^3-k\right)+3\left(k^2+k\right)\)

                     \(=A_k+3\left(k^2+k\right)\)

Theo giả thiết quy nạp ta có \(A_k⋮3\), hơn nữa \(3\left(k^2+k\right)⋮3\) 

Nên \(A_{k+1}⋮3\)

Vậy \(A_n=n^3-n\) chia hết cho 3 với mọi \(n\in N\)*.

Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên \(n\ge p\) (\(p\) là một số tự nhiên) thì:

     - Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với \(n=p\)

     - Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì \(n=k\ge p\) và ta phải chứng minh rằng mệnh đề cũng đúng với \(n=k+1\).

Ví dụ 3: Chứng minh rằng với \(n\in N\)*, ta có đẳng thức :

              \(2+5+8+...+3n-1=\dfrac{n\left(3n+1\right)}{2}\)   (2)

Giải:

Bước 1: Với \(n=1\), vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng \(\dfrac{1\left(3.1+1\right)}{2}=2\)

Vậy hệ thức đúng với \(n=1\).

Bước 2: Đặt vế trái bằng \(S_n\)

Giả sử đẳng thức (2) đúng với \(n=k\ge1\) tức là \(S_k=2+5+8+...+3k-1=\dfrac{k\left(3k+1\right)}{2}\) , ta phải chứng minh rằng đẳng thức cũng đúng với \(n=k+1\), nghĩa là phải chứng minh :

             \(S_{k+1}=2+5+8+...+\left(3\left(k+1\right)-1\right)=\dfrac{\left(k+1\right)\left(3\left(k+1\right)+1\right)}{2}\)

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

           \(S_{k+1}=S_k+3k+2=\dfrac{k\left(3k+1\right)}{2}+3k+2\)

                   \(=\dfrac{3k^2+k+6k+4}{2}=\dfrac{3\left(k^2+2k+1\right)+k+1}{2}=\dfrac{\left(k+1\right)\left(3\left(k+1\right)+1\right)}{2}\)

Vậy, theo nguyên lý quy nạp toán học, hệ thức trên đúng với mọi \(n\in N\)*.

Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi \(n\in N\)* ta luôn có : \(n^3+3n^2+5n\) chia hết cho 3.

Giải:

Đặt \(S_n=n^3+3n^2+5n\)

Bước 1: Với \(n=1\) thì \(S_1=9\) chia hết cho 3.

Bước 2: Giả sử với \(n=k\ge1\) , ta có \(S_k=\left(k^3+3k^2+5k\right)\) chia hết cho 3

Ta phải chứng minh rằng \(S_{k+1}\) chia hết cho 3

Thật vậy:  \(S_{k+1}=\left(k+1\right)^3+3\left(k+1\right)^2+5\left(k+1\right)\)

                         \(=k^3+3k^2+3k+1+3k^2+6k+3+5k+5\)  

                         \(=k^3+3k^2+5k+3k^2+9k+9\)

hay \(S_{k+1}=S_k+3\left(k^2+3k+3\right)\)

Theo giả thiết quy nạp thì \(S_k\) chia hết cho 3, mặt khác \(3\left(k^2+3k+3\right)\) chia hết cho 3 nên \(S_{k+1}\) chia hết cho 3

Vậy với mọi \(n\in N\)* ta luôn có \(S_n=n^3+3n^2+5n\) chia hết cho 3.

Ví dụ 5: Cho tổng \(S_n=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}\) với mọi \(n\in N\)*.

   a) Tính \(S_1,S_2,S_3\).

   b) Dự đoán công thức tính tổng \(S_n\) và chứng minh bằng quy nạp

Giải:

a) Ta có \(S_1=\dfrac{1}{1.2}=\dfrac{1}{2}\)  ;

              \(S_2=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}=\dfrac{2}{3}\)  ;

             \(S_3=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}=\dfrac{3}{4}\).

b) Từ câu a) ta dự đoán \(S_n=\dfrac{n}{n+1}\left(1\right)\)với mọi \(n\in N\)*

Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp.

Khi \(n=1\), vế trái là \(S_1=\dfrac{1}{2}\), vế phải là \(\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}\) vậy đẳng thức (1) đúng với \(n=1\).

Giả sử đẳng thức (1) đúng với \(n=k\ge1\), tức là \(S_k=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{k\left(k+1\right)}=\dfrac{k}{k+1}\)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng khi \(n=k+1\), nghĩa là phải chứng minh \(S_{k+1}=\dfrac{k+1}{k+2}\)

Ta có \(S_{k+1}=S_k+\dfrac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\dfrac{k}{k+1}+\dfrac{1}{\left(k+2\right)\left(k+1\right)}=\dfrac{k^2+2k+1}{\left(k+2\right)\left(k+1\right)}=\dfrac{k+1}{k+2}\)

Tức là đẳng thức (1) cũng đúng với \(n=k+1\)

Vậy đẳng thức (1) đã được chứng minh.