I. ĐỊNH NGHĨA
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với số không đổi \(q\)
Số \(q\) gọi là công bội của cấp số nhân.
Nếu (\(u_n\)) là cấp số nhân với công bội \(q\), ta có công thức truy hồi:
\(u_{n+1}=u_nq\), với \(n\in N\)*. (1)
Đặc biệt:
+) Khi \(q=0\), cấp số nhân có dạng \(u_1,0,0,0,...,0,...\) ;
+) Khi \(q=1\), cấp số nhân có dạng \(u_1,u_1,u_1,...,u_1,...\) ;
+) Khi \(u_1=0\) thì với mọi \(q\), cấp số nhân có dạng \(0,0,0,...,0,...\).
Ví dụ 1: Chứng minh dãy số hữu hạn \(-4;1;-\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{16};-\dfrac{1}{64}\) là một cấp số nhân.
Giải:
Ta có: \(1=\left(-4\right).\left(-\dfrac{1}{4}\right)\) ; \(-\dfrac{1}{4}=1.\left(-\dfrac{1}{4}\right)\) ;
\(\dfrac{1}{16}=-\dfrac{1}{4}.\left(-\dfrac{1}{4}\right)\) ; \(-\dfrac{1}{64}=\dfrac{1}{16}.\left(-\dfrac{1}{4}\right)\)
Nên dãy số \(-4;1;-\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{16};-\dfrac{1}{64}\) là một cấp số nhân có công bội \(q=-\dfrac{1}{4}\).
@38121@
II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
Định lí 1:
Nếu cấp số nhân có số hạng đầu \(u_1\) và công bội \(q\) thì số hạng tổng quát \(u_n\) được xác định bởi công thức:
\(u_n=u_1.q^{n-1}\) với \(n\ge2\). (2)
Ví dụ 2: Cho cấp số nhân \(\left(u_n\right)\) với \(u_1=3,q=-\dfrac{1}{2}\).
a) Tính \(u_7\) ;
b) Hỏi \(\dfrac{3}{256}\) là số hạng thứ mấy?
Giải:
Cấp số nhân có \(u_1=3,q=-\dfrac{1}{2}\)
a) Áp dụng công thức (2) ta có:
\(u_7=u_1.q^{7-1}=3.\left(-\dfrac{1}{2}\right)^6=\dfrac{3}{64}\)
b) Theo công thức (2) ta có:
\(u_n=3.\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\dfrac{3}{256}\Leftrightarrow\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\dfrac{1}{256}=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^8\)
Suy ra \(n-1=8\) hay \(n=9\)
Vậy số \(\dfrac{3}{256}\) là số hạng thứ 9.
@68758@
III. TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ NHÂN
Định lí 2:
Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:
\(\left(u_k\right)^2=u_{k-1}.u_{k+1}\), với \(k\ge2\) (3)
hay \(\left|u_k\right|=\sqrt{u_{k-1}.u_{k+1}}\).
Chứng minh:
Sử dụng công thức (2) với \(k\ge2\) ta có:
\(u_{k-1}=u_1.q^{k-2}\)
\(u_{k+1}=u_1.q^k\)
Suy ra \(u_{k-1}.u_{k+1}=\left(u_1.q^{k-1}\right)^2=\left(u_k\right)^2\).
III. TỔNG \(n\) SỐ HẠNG ĐẦU CỦA CẤP SỐ NHÂN
Định lí 3:
Cho cấp số nhân \(\left(u_n\right)\) với công bội \(q\ne1\). Đặt
\(S_n=u_1+u_2+...+u_n\)
Khi đó \(S_n=\dfrac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}\) .
Nếu \(q=1\) thì \(S_n=n.u_1\).
Ví dụ 3: Cho cấp số nhân \(\left(u_n\right)\) biết \(u_1=2,u_3=18\). Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên.
Giải:
Theo giả thiết \(u_1=2,u_3=18\) ta có:
\(u_3=u_1.q^2\) \(\Rightarrow2q^2=18\Rightarrow q=\pm3\)
Vậy có hai trường hợp:
Với \(q=3\) ta có: \(S_{10}=\dfrac{2\left(1-3^{10}\right)}{1-3}=59048\)
Với \(q=-3\) ta có: \(S_{10}=\dfrac{2[1-(-3)^{10}]}{1-\left(-3\right)}=-29524\)
Ví dụ 4: Tìm 4 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết tổng 3 số hạng đầu bằng \(16\dfrac{4}{9}\), đồng thời theo thứ tự, chúng là số hạng thứ nhất, thứ 4 và thứ 8 của một cấp số cộng.
Giải:
Gọi \(u_1,u_2,u_3,u_4\) là 4 số hạng đầu tiên của cấp số nhân \(\left(u_n\right)\), với công bội \(q\).
Gọi \(\left(v_n\right)\) là cấp số cộng tương ứng với công sai là \(d\).
Theo giả thiết ta có :
\(\begin{cases}u_1+u_2+u_3+u_4=16\dfrac{4}{9}\left(1\right)\\u_1=v_1\\u_2=v_4=v_1+3d\\u_3=v_8=v_1+7d\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}u_1+u_1q+u_1q^2=16\dfrac{4}{9}\left(1\right)\\u_1q=u_1+3d\left(2\right)\\u_1q^2=u_1+7d\left(3\right)\end{cases}\)
Khử \(d\) từ (2) và (3) ta được \(u_1\left(3q^2-7q+4\right)=0\left(4\right)\)
Do (1) nên : \(u_1\ne0\Rightarrow\left(4\right)\Leftrightarrow\begin{cases}q=1\\q=\dfrac{4}{3}\end{cases}\)
Theo định nghĩa thì \(q\ne1\), do vậy \(q=\frac{4}{3}\)
Thay vào (1), ta được \(u_1=4;u_2=u_1q=\dfrac{16}{3};u_3=\dfrac{64}{9};u_4=\dfrac{256}{27}\)
Ví dụ 5: Chứng minh rằng dãy số \(a_n=2.3^n\) lập thành một cấp số nhân và tính tổng của 8 số hạng đầu tiên của nó.
Giải:
Xét \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{2.3^{n+1}}{2.3^n}=3>1\) chứng tỏ \(a_n\) là một cấp số nhân, có công bội \(q=3\), \(a_1=2.3=6\).
Do vậy : \(S_8=\dfrac{6\left(3^8-1\right)}{3-1}=3.\left(3^8-1\right)=17.680\)
@36518@