Question

Cho đa thức f(x) khi chia x+1 dư 4, x²+1dư 2x+3. Tìm dư khi chia f(x) cho (x+1).(x²+1)

Answer 1

Làm

Ta có: f(x) chia cho x+1 dư 1 => f(-1)=4 (1) (Định lí Bơ-du)

Ta có : f(x)chia x²+1 dư 2x+3 => f(x)= (x²+1)g(x) + 2x+3 (2)

Khi chia f(x) cho đa thức (x+1)(x²+1) bậc 3 thì dư sẽ có dạng ax²+bx+c

=> f(x)= (x+1)(x²+1)k(x)+ax²+bx+c (4)

=> f(x)= (x+1)(x²+1)k(x) +a(x²+1)+bx+c-a

=>f(x) = (x²+1) [(x+1)(x²+1)k(x)+a] +bx+c-3 (3)

(2)(3)=> 2x+3= bx+c-a với mọi x

=> \(\left\{{}\begin{matrix}c-a=3\\b=2\end{matrix}\right.\)

(1)(4)=> a+c=6 mà c-a =3 \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{3}{2}\\c=\frac{9}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy đa thức dư là \(\frac{3}{2}x^2+2x+\frac{9}{2}\)