Lời giải:
Kẻ đường cao $DH$ $(H\in BC$)
Tứ giác $ADHB$ có 3 góc vuông \((\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{H}=90^0\) ) nên là hình chữ nhật
\(\Rightarrow DH=AB; AD=BH\)
$CD$ bằng tổng 2 đáy, hay $CD=AD+BC$
Áp dụng định lý Pitago cho các tam giác vuông:
\(CD^2=DH^2+CH^2=AB^2+(BC-BH)^2=AB^2+(BC-AD)^2\)
\(\Leftrightarrow (AD+BC)^2=AB^2+(BC-AD)^2\)
\(\Leftrightarrow 2AD.BC=AB^2-2BC.AD\)
\(\Leftrightarrow AD.BC=\frac{AB^2}{4}=\frac{a^2}{4}\) (đpcm phần b)
\(\Leftrightarrow AD.BC=\frac{a}{2}.\frac{a}{2}=AM.MB\)
\(\Leftrightarrow \frac{AM}{BC}=\frac{AD}{BM}\)
Xét tam giác $AMD$ và $BCM$ có:
\(\widehat{MAD}=\widehat{CBM}=90^0; \frac{AM}{BC}=\frac{AD}{BM}\) (cmt)
\(\Rightarrow \triangle AMD\sim \triangle BCM(c.g.c)\Rightarrow \widehat{AMD}=\widehat{BCM}=90^0-\widehat{BMC}\)
\(\Rightarrow \widehat{AMD}+\widehat{BMC}=90^0\)
\(\Rightarrow \widehat{CMD}=180^0-(\widehat{AMD}+\widehat{BMC})=90^0\) (đpcm phần a)
Lời giải:
Kẻ đường cao $DH$ $(H\in BC$)
Tứ giác $ADHB$ có 3 góc vuông \((\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{H}=90^0\) ) nên là hình chữ nhật
\(\Rightarrow DH=AB; AD=BH\)
$CD$ bằng tổng 2 đáy, hay $CD=AD+BC$
Áp dụng định lý Pitago cho các tam giác vuông:
\(CD^2=DH^2+CH^2=AB^2+(BC-BH)^2=AB^2+(BC-AD)^2\)
\(\Leftrightarrow (AD+BC)^2=AB^2+(BC-AD)^2\)
\(\Leftrightarrow 2AD.BC=AB^2-2BC.AD\)
\(\Leftrightarrow AD.BC=\frac{AB^2}{4}=\frac{a^2}{4}\) (đpcm phần b)
\(\Leftrightarrow AD.BC=\frac{a}{2}.\frac{a}{2}=AM.MB\)
\(\Leftrightarrow \frac{AM}{BC}=\frac{AD}{BM}\)
Xét tam giác $AMD$ và $BCM$ có:
\(\widehat{MAD}=\widehat{CBM}=90^0; \frac{AM}{BC}=\frac{AD}{BM}\) (cmt)
\(\Rightarrow \triangle AMD\sim \triangle BCM(c.g.c)\Rightarrow \widehat{AMD}=\widehat{BCM}=90^0-\widehat{BMC}\)
\(\Rightarrow \widehat{AMD}+\widehat{BMC}=90^0\)
\(\Rightarrow \widehat{CMD}=180^0-(\widehat{AMD}+\widehat{BMC})=90^0\) (đpcm phần a)