1, Cho a + b = 2
Tính a2 + b2 + 6ab
2, Tìm a, b sao cho a2 + b2 - ab - a - b + 1 = 0
3, Cho x + y = x2 + y2 = x3 + y3
Tìm x, y
4, Cho ab + bc + ca = 1
Rút gọn: P = \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}-\frac{2\left(a+b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
5, Cho P = x3 + y3 + 3xy là số nguyên tố, x và y \(\in N\). Tìm x,y
Bài 1: Chưa đủ dữ kiện để tính. Từ $a+b=2$ bạn chỉ có thể tính $a^2+b^2+2ab$
Bài 2:
\(a^2+b^2-ab-a-b+1=0\)
\(\Leftrightarrow 2a^2+2b^2-2ab-2a-2b+2=0\)
\(\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(a^2-2a+1)+(b^2-2b+1)=0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2=0\)
Vì \((a-b)^2\geq 0; (a-1)^2\geq 0;(b-1)^2\geq 0, \forall a,b\in\mathbb{R}\)
\(\Rightarrow (a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2\geq 0\)
Dấu "=" xảy ra khi \((a-b)^2=(a-1)^2=(b-1)^2=0\Leftrightarrow a=b=1\)
Bài 3:
\(x+y=x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\)
\(\Leftrightarrow (x+y)(x^2-xy+y^2-1)=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x+y=0\\ x^2-xy+y^2-1=0\end{matrix}\right.\).
Nếu $x+y=0$ \(\Rightarrow x^2+y^2=x+y=0\)
Mà \(x^2\geq 0, y^2\geq 0, \forall x,y\) nên để tổng của chúng bằng $0$ thì \(x^2=y^2=0\Leftrightarrow x=y=0\) (thỏa mãn)
Nếu \(x^2-xy+y^2-1=0\)
\(\Leftrightarrow (x^2+y^2)-xy-1=0\)
\(\Leftrightarrow x+y-xy-1=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)(1-y)=0\) \(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=1\\ y=1\end{matrix}\right.\)
\(x=1\Rightarrow 1+y=1+y^2=1+y^3\)
\(\Leftrightarrow y=y^2=y^3\Rightarrow y=0\) hoặc $y=1$
\(y=1\Rightarrow x+1=x^2+1=x^3+1\)
\(\Leftrightarrow x=x^2=x^3\Rightarrow x=0\) hoặc $x=1$.
Vậy $(x,y)=(0,0); (1,0), (0,1), (1,1)$
Bài 4:
\(ab+bc+ac=1\)
\(\Rightarrow a^2+1=a^2+ab+bc+ac=a(a+b)+c(b+a)=(a+c)(a+b)\)
Hoàn toàn tương tự:
\(b^2+1=(b+c)(b+a); c^2+1=(c+a)(c+b)\)
Do đó:
\(P=\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}-\frac{2(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{1}{(a+b)(a+c)}+\frac{1}{(b+c)(b+a)}+\frac{1}{(c+a)(c+b)}-\frac{2(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)
\(=\frac{(b+c)+(a+c)+(a+b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{2(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)
\(=\frac{2(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{2(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=0\)
Vậy $P=0$
Bài 5:
Mình đoán là bạn chép thiếu đề. \(P=x^3+y^3+3xy-1\) đúng không?
