Bài 5: Lũy thừa của một số hữu tỉ

a) \(\dfrac{x^7}{81}=27\) => \(x^7=81.27=3^4.3^3=3^7\)=> \(x=3\)

b) \(\dfrac{x^8}{9}=729\)=> \(x^8=9.729=\)(\(\pm\)\(3^2\)).(\(\pm\)\(3^6\))=(\(\pm\)\(3^{^8}\)) => x = \(\pm\)3

\(n^{150}=\left(n^2\right)^{75};5^{225}=\left(5^3\right)^{75}=125^{75}\)

\(n^{150}< 5^{225}\) hay \(\left(n^2\right)^{75}< 125^{75}\)

=> \(n^2< 125\)

Nên: Số nguyên lớn nhất thỏa mãn điều kiện trên là n=11

Đặt \(A=2^{2009}+2^{2008}+...+2^1+2^0.\)

Ta có : \(2A=2^{2010}+2^{2009}+...+2^2+2^1.\)

Suy ra : \(2A-A=2^{2010}-2^0\Rightarrow A=2^{2010}-1.\)

Do đó \(M=2^{2010}-A=2^{2010}-\left(2^{2010}-1\right)=1.\)

Ta có 2 cách làm:

Cách 1: \(9^{2000}=\left(3^2\right)^{2000}=3^{4000}\)

Vậy \(3^{4000}=9^{2000}\)

Cách 2:

\(3^{4000}=\left(3^2\right)^{2000}=3^{4000}\) (1)

\(9^{2000}=\left(9^2\right)^{1000}=81^{1000}\) (2)

Từ (1) và(2) suy ra \(3^{4000}=9^{2000}\)

Ta có: \(3^{223}>3^{222}=\left(3^2\right)^{111}=9^{111}\) (1)

\(2^{332}< 2^{333}=\left(2^3\right)^{111}=8^{111}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(2^{332}< 8^{111}< 9^{111}< 3^{223}\)

Vậy \(2^{332}< 3^{332}\)