Nội dung lý thuyết
Các phiên bản khácỞ bài trước ta đã biết: Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng \(\dfrac{a}{b}\left(a,b\in Z;b\ne0\right)\). Nói cách khác, mỗi số hữu tỉ đều viết được dưới dạng phân số.
Do đó, để cộng (trừ) hai số hữu tỉ, ta có thể đưa chúng về phân số, sau đó áp dụng các quy tắc cộng (trừ) phân số đã học.
Quy tắc: Muốn cộng (trừ) hai số hữu tỉ \(x,y\), ta làm như sau:
- Viết các số \(x,y\) ở dạng phân số có cùng mẫu số dương.
\(x=\dfrac{a}{m};y=\dfrac{b}{m}\left(a,b,m\in Z;m>0\right)\)
- Cộng (trừ) phần tử số của hai phân số vừa viết được.
\(x+y=\dfrac{a}{m}+\dfrac{b}{m}=\dfrac{a+b}{m}\);
\(x-y=\dfrac{a}{m}-\dfrac{b}{m}=\dfrac{a-b}{m}.\)
Ví dụ:
+) \(0,4+\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{8}{20}+\dfrac{5}{20}=\dfrac{8+5}{20}=\dfrac{13}{20}.\)
+) \(\dfrac{-1}{3}+\dfrac{4}{7}=\dfrac{-7}{21}+\dfrac{12}{21}=\dfrac{-7+12}{21}=\dfrac{5}{21}.\)
+) \(\dfrac{1}{2}-\left(-0,6\right)=\dfrac{1}{2}+0,6=\dfrac{1}{2}+\dfrac{6}{10}=\dfrac{5}{10}+\dfrac{6}{10}=\dfrac{11}{10}.\)
+) \(\dfrac{-3}{4}+\dfrac{2}{-5}=\dfrac{-3}{4}+\dfrac{-2}{5}=\dfrac{-15}{20}+\dfrac{-8}{20}=\dfrac{-15-8}{20}=\dfrac{-23}{20}.\)
Nhận xét: Phép cộng (trừ) số hữu tỉ có các tính chất của phép cộng (trừ) phân số:
Chú ý: Mỗi số hữu tỉ đều có một số đối. Số đối của số hữu tỉ \(a\) là số \(-a\).
Ta có thể vận dụng các tính chất trên để tính giá trị biểu thức chứa một dãy các phép cộng (trừ) số hữu tỉ hoặc áp dụng giải các bài tập tính nhanh.
Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức \(A=\dfrac{1}{3}-\left[\left(-\dfrac{5}{4}\right)-\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{8}\right)\right]\).
Lời giải:
Ta có: \(A=\dfrac{1}{3}-\left[\left(-\dfrac{5}{4}\right)-\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{8}\right)\right]\)
\(=\dfrac{1}{3}-\left[\dfrac{-5}{4}-\left(\dfrac{2}{8}+\dfrac{3}{8}\right)\right]\)
\(=\dfrac{1}{3}-\left(\dfrac{-5}{4}-\dfrac{5}{8}\right)\)
\(=\dfrac{1}{3}-\left(\dfrac{-10}{8}-\dfrac{5}{8}\right)\)
\(=\dfrac{1}{3}-\left(\dfrac{-15}{8}\right)\)
\(=\dfrac{1}{3}+\dfrac{15}{8}\)
\(=\dfrac{8}{24}+\dfrac{45}{24}\)
\(=\dfrac{53}{24}.\)
Ví dụ 2: Tính nhanh \(B=\left(\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{5}{8}-1\dfrac{3}{7}-\dfrac{4}{7}\right)+\dfrac{1}{3}\).
Lời giải:
Ta có \(B=\left(\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{5}{8}-1\dfrac{3}{7}-\dfrac{4}{7}\right)+\dfrac{1}{3}\)
\(=\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{8}-\dfrac{10}{7}-\dfrac{4}{7}+\dfrac{1}{3}\)
\(=\left(\dfrac{3}{8}+\dfrac{5}{8}\right)+\left(-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\right)+\left(-\dfrac{10}{7}-\dfrac{4}{7}\right)-\dfrac{1}{5}\)
\(=1+0-2-\dfrac{1}{5}\)
\(=-1-\dfrac{1}{5}=-\dfrac{5}{5}-\dfrac{1}{5}=-\dfrac{6}{5}.\)
Chú ý: Trong \(Q\), ta cũng có các tổng đại số, trong đó có thể đổi chỗ các số hạng, đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý như các tổng đại số trong \(Z\).
Tương tự trong \(Z\), tập hợp các số hữu tỉ \(Q\) cũng có quy tắc "chuyển vế":
Quy tắc: Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó.
Với mọi \(x,y,z\in Q\), ta có: \(x+y=z\Rightarrow x=z-y\).
Ta thường áp dụng quy tắc chuyển vế trong các bài toán tìm \(x\).
Ví dụ: Tìm \(x\) biết:
a) \(x+\dfrac{4}{7}=-\dfrac{2}{3}\);
b) \(\dfrac{3}{7}-x=\dfrac{1}{4}-\left(-\dfrac{3}{5}\right)\).
Lời giải:
a) \(x+\dfrac{4}{7}=-\dfrac{2}{3}\)
\(x=-\dfrac{2}{3}-\dfrac{4}{7}\)
\(x=\dfrac{-14}{21}-\dfrac{12}{21}\)
\(x=\dfrac{-14-12}{21}\)
\(x=-\dfrac{26}{21}\).
b) \(\dfrac{3}{7}-x=\dfrac{1}{4}-\left(-\dfrac{3}{5}\right)\)
\(x=\dfrac{3}{7}-\left[\dfrac{1}{4}-\left(-\dfrac{3}{5}\right)\right]\)
\(x=\dfrac{3}{7}-\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{5}\right)\)
\(x=\dfrac{3}{7}-\left(\dfrac{5}{20}+\dfrac{12}{20}\right)\)
\(x=\dfrac{3}{7}-\dfrac{17}{20}\)
\(x=\dfrac{60}{140}-\dfrac{119}{140}\)
\(x=\dfrac{-59}{140}.\)