Bài 5: Lũy thừa của một số hữu tỉ

1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Ở lớp 6, ta đã được làm quen với khái niệm lũy thừa với cơ số và số mũ đều là số tự nhiên. Trong bài học này, ta tiếp tục tìm hiểu về lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ.

Định nghĩa: Lũy thừa bậc \(n\) của số hữu tỉ \(x\), kí hiệu là \(x^n\), là tích của \(n\) thừa số \(x\) (với \(n\) là số tự nhiên lớn hơn 1).

\(x^n=\underbrace{x.x.x...x}_{n \text{ thừa số}} \left(x\in Q; n\in N; n>1\right)\)

\(x^n\) đọc là "\(x\) mũ \(n\)" hay "\(x\) lũy thừa \(n\)" hay "lũy thừa bậc \(n\) của \(x\)", trong đó \(x\) là cơ số, \(n\) là số mũ.

Ví dụ: \(2.2.2.2.2=2^5\); \(\left(-3\right)\left(-3\right)\left(-3\right)\left(-3\right)=\left(-3\right)^4\); \(\dfrac{1}{5}.\dfrac{1}{5}.\dfrac{1}{5}=\left(\dfrac{1}{5}\right)^3\); \(\left(0,25\right).\left(0,25\right).\left(0,25\right).\left(0.25\right)=\left(0,25\right)^4\)... Các số \(2^5\), \(\left(-3\right)^4\), \(\left(\dfrac{1}{5}\right)^3\), \(\left(0,25\right)^4\) là các lũy thừa với số mũ tự nhiên.

Tương tự như lũy thừa có cơ số nguyên, lũy thừa của một số hữu tỉ cũng có một số quy ước như sau:

Quy ước: \(x^1=x\); \(x^0=1\left(x\ne0\right)\).

Ta đã biết, số hữu tỉ \(x\) có thể viết dưới dạng \(\dfrac{a}{b}\) (\(a,b\in Z;b\ne0\)). Khi đó:

\(x^n =\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\underbrace{\dfrac{a}{b}.\dfrac{a}{b}...\dfrac{a}{b}}_{n \text{ thừa số}}=\dfrac{\overbrace{a.a...a}^{n \text{ thừa số}}}{\underbrace{b.b...b}_{n \text{ thừa số}}}=\dfrac{a^n}{b^n}.\)

Như vậy, ta có kết quả:

\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\)

Từ kết quả trên ta có thể thấy, để tính lũy thừa của một số hữu tỉ, ta có thể viết số hữu tỉ đó về dạng \(x=\dfrac{a}{b}\) rồi đưa về tính lũy thừa của các số nguyên.

Ví dụ: 

+) \(\left(-0,5\right)^3=\left(\dfrac{-1}{2}\right)^3=\dfrac{\left(-1\right)^3}{2^3}=\dfrac{-1}{8}\); 

+) \(\left(\dfrac{-2}{7}\right)^2=\dfrac{\left(-2\right)^2}{7^2}=\dfrac{4}{49};\)

+) \(\left(9,947\right)^0=1\).

2. Tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số

Xét \(x\in Q;m,n\in N\), ta có:

​\(x^m.x^n=(\underbrace{x.x...x}_{m \text{ thừa số}})(\underbrace{x.x...x}_{n \text{ thừa số}})=\underbrace{x.x...x}_{m+n \text{ thừa số}}=x^{m+n}\)

Thêm điều kiện \(x\ne0\) và \(m\ge n\), ta có:

\(x^m:x^n=\dfrac{x^m}{x^n}=\dfrac{\overbrace{x.x...x}^{m \text{ thừa số}}}{\underbrace{x.x...x}_{n\text{ thừa số}}}=\underbrace{x.x...x}_{m-n\text{ thừa số}}=x^{m-n}\)

Như vậy, đối với số hữu tỉ \(x\), ta có các công thức:

\(x^m.x^n=x^{m+n}\)

\(x^m:x^n=x^{m-n}\)

Phát biểu:

• Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ.
• Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của lũy thừa bị chia trừ đi số mũ của lũy thừa chia.

Ví dụ:

+) \(\left(\dfrac{3}{2}\right)^2.\left(\dfrac{3}{2}\right)^3=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2+3}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^5=\dfrac{3^5}{2^5}=\dfrac{243}{32};\)

+) \(\left(-3\right)^6:\left(-3\right)^3=\left(-3\right)^{6-3}=\left(-3\right)^3=-27;\)

+) \(\left(-0,123\right)^{11}:\left(-0,123\right)^{11}=\left(-0,123\right)^{11-11}=\left(-0,123\right)^0=1\).

3. Lũy thừa của lũy thừa

Xét các ví dụ sau:

\(\left(3^2\right)^3=\left(3^2\right)\left(3^2\right)\left(3^2\right)=\left(3.3\right)\left(3.3\right)\left(3.3\right)=3^6\left(=3^{2.3}\right)\);

\(\left[\left(-\dfrac{1}{4}\right)^4\right]^2=\left[\left(-\dfrac{1}{4}\right)^4\right].\left[\left(-\dfrac{1}{4}\right)^4\right]=\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{4+4}=\left(-\dfrac{1}{4}\right)^8\left(=\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{4.2}\right)\).

Một cách tổng quát ta có:

\(\left(x^m\right)^n=x^{m.n}\)

Phát biểu: Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ.

Ví dụ:

+) \(\left[\left(-0,125\right)^4\right]^3=\left(-0,125\right)^{3.4}=\left(-0,125\right)^{12};\)

+) \(\left[\left(2\dfrac{3}{4}\right)^2\right]^7=\left(2\dfrac{3}{4}\right)^{2.7}=\left(2\dfrac{3}{4}\right)^{14}.\)

Ta có thể áp dụng các công thức biến đổi lũy thừa trên vào các bài toán tìm \(x\), chẳng hạn:

Ví dụ: Tìm \(x\) biết

a) \(\left(-\dfrac{1}{3}\right)^6:x=\left(-\dfrac{1}{3}\right)^3\);

b) \(x.\left(0,25\right)^4=\left(0,25\right)^7\);

c) \(x:\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\left(\dfrac{1}{4}\right)^6\).

Lời giải:

a) Ta có \(\left(-\dfrac{1}{3}\right)^6:x=\left(-\dfrac{1}{3}\right)^3\)

\(x=\left(-\dfrac{1}{3}\right)^6:\left(-\dfrac{1}{3}\right)^3\)

\(x=\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{6-3}\)

\(x=\left(-\dfrac{1}{3}\right)^3\)

\(x=\dfrac{\left(-1\right)^3}{3^3}=\dfrac{-1}{27}\).

b) Ta có \(x.\left(0,25\right)^4=\left(0,25\right)^7\)

\(x=\left(0,25\right)^7:\left(0,25\right)^4\)

\(x=\left(0,25\right)^{7-4}\)

\(x=\left(0,25\right)^3\)

\(x=\left(\dfrac{1}{4}\right)^3\)

\(x=\dfrac{1^3}{4^3}=\dfrac{1}{64}.\)

c) Ta có \(x:\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\left(\dfrac{1}{4}\right)^6\)

\(x:\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\left[\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\right]^6\)

\(x:\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{12}\)

\(x=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{12}.\left(\dfrac{1}{2}\right)^3\)

\(x=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{15}.\)