Bài 1: Tập hợp Q các số hữu tỉ

1. Số hữu tỉ

Ở lớp 6 ta đã biết: Các phân số bằng nhau là các cách viết khác nhau của cùng một số. Ta gọi số đó là số hữu tỉ.

Nhắc lại: Để viết được các phân số mới bằng phân số đã cho, ta có các phương pháp: Nhân cả tử và mẫu với cùng một số khác 0; chia cả tử và mẫu cho một ước chung; đổi dấu cả tử và mẫu của phân số ban đầu.

Ví dụ:

+) \(3=\dfrac{3}{1}=\dfrac{6}{2}=\dfrac{-9}{-3}=...\)

+) \(-0,25=\dfrac{-1}{4}=\dfrac{1}{-4}=\dfrac{-2}{8}=...\)

+) \(3\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{2}=\dfrac{14}{4}=\dfrac{-21}{-6}=...\)

+) \(0=\dfrac{0}{1}=\dfrac{0}{-2}=\dfrac{0}{4}=...\)

Như vậy, các số \(3\); \(-0,25\); \(3\dfrac{1}{2}\); \(0\) đều là các số hữu tỉ.

Định nghĩa: Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số \(\dfrac{a}{b}\) với \(a,b\in Z;b\ne0\).

Kí hiệu: Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là \(Q\).

Ví dụ: 

+) \(0,123=\dfrac{123}{1000}\) nên \(0,123\) là một số hữu tỉ.

+) Xét số nguyên \(a\). Ta có \(a=\dfrac{a}{1}\) nên \(a\) cũng là một số hữu tỉ.

Nhận xét: Mỗi số nguyên là một số hữu tỉ. Do đó, hiển nhiên ta có: mỗi số tự nhiên cũng là một số hữu tỉ.

\(N\subset Z\subset Q\)

2. Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số

Ở các lớp dưới, ta đã biểu diễn được các số tự nhiên và số nguyên trên trục số. Bây giờ, ta tiếp tục biểu diễn các số hữu tỉ.

Ví dụ 1: Biểu diễn số \(\dfrac{5}{4}\) trên trục số.

Các bước làm:

- Chia đoạn thẳng đơn vị (chẳng hạn đoạn từ điểm 0 đến điểm 1) thành 4 phần bằng nhau, lấy một đoạn làm đơn vị mới thì đơn vị mới bằng \(\dfrac{1}{4}\) đơn vị cũ.

- Số hữu tỉ \(\dfrac{5}{4}\) được biểu diễn bởi điểm \(M\) nằm bên phải điểm 0 và cách điểm 0 một đoạn bằng 5 đơn vị mới.

Ví dụ 2: Biểu diễn số \(\dfrac{2}{-3}\) trên trục số.

Các bước làm:

- Viết số hữu tỉ đã cho về dạng phân số có mẫu số dương: \(\dfrac{2}{-3}=\dfrac{-2}{3}\).

- Chia đoạn thẳng đơn vị thành 3 phần bằng nhau, lấy một đoạn làm đơn vị mới thì đơn vị mới bằng \(\dfrac{1}{3}\) đơn vị cũ.

- Số hữu tỉ \(\dfrac{-2}{3}\) được biểu diễn bởi điểm \(N\) nằm bên trái điểm 0 và cách điểm 0 một đoạn bằng 2 đơn vị mới.

Chú ý: Điểm biểu diễn số hữu tỉ \(x\) được gọi là điểm \(x\).

3. So sánh hai số hữu tỉ

+) Với hai số hữu tỉ \(x,y\) bất kì, ta luôn có: hoặc \(x=y\), hoặc \(x>y\), hoặc \(x< y\).

+) Để so sánh hai số hữu tỉ \(x,y\), ta làm như sau:

• Viết hai số \(x,y\) dưới dạng hai phân số có cùng mẫu dương: \(x=\dfrac{a}{m};y=\dfrac{b}{m}\left(m>0\right)\).
• So sánh hai tử số: 

\(a>b\Rightarrow x>y\)

\(a< b\Rightarrow x< y\)

\(a=b\Rightarrow x=y\)

Ví dụ 1: So sánh hai số hữu tỉ \(-0,75\) và \(\dfrac{-1}{2}\).

Lời giải: 

Ta có: \(-0,75=\dfrac{-75}{100}=\dfrac{-3}{4};\dfrac{-1}{2}=\dfrac{-2}{4}\).

Do \(-3< -2\Rightarrow\dfrac{-3}{4}< \dfrac{-2}{4}\Rightarrow-0,75< \dfrac{-1}{2}\).

Ví dụ 2: So sánh hai số hữu tỉ \(2\dfrac{1}{3}\) và 0.

Lời giải:

Ta có \(2\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{3};0=\dfrac{0}{3}\).

Do \(7>0\Rightarrow\dfrac{7}{3}>\dfrac{0}{3}\Rightarrow2\dfrac{1}{3}>0\).

Chú ý: Tương tự như số nguyên, nếu hai số hữu tỉ \(x,y\) thỏa mãn \(x< y\) thì trên trục số, điểm \(x\) nằm bên trái điểm \(y\).

Như vậy, để so sánh các số hữu tỉ, ta cũng có thể biểu diễn chúng trên cùng một trục số rồi đưa ra kết luận.

Tính chất: Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương; Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm; Số 0 không là số hữu tỉ dương và cũng không là số hữu tỉ âm.

Như vậy: \(Q=\) {Số hữu tỉ âm} \(\cup\) {0} \(\cup\) {Số hữu tỉ dương}.