Bài 4: Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ. Cộng, trừ, nhân, chia số thập phân

1. Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ

Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ \(x\) là khoảng cách từ điểm \(x\) tới điểm 0 trên trục số.

Kí hiệu: Giá trị tuyệt đối của \(x\) được kí hiệu là \(\left|x\right|\).

Ví dụ: 

+) Nếu \(x=2,3\) thì trên trục số, \(x\) nằm bên phải điểm 0 và cách điểm 0 một khoảng bằng \(2,3\). Do đó, ta có \(\left|x\right|=\left|2,3\right|=2,3\).

+) Nếu \(x=\dfrac{-4}{7}\) thì trên trục số, điểm \(x\) nằm bên trái điểm 0 và cách điểm 0 một khoảng bằng \(\dfrac{4}{7}\). Do đó, ta có \(\left|x\right|=\left|\dfrac{-4}{7}\right|=\dfrac{4}{7}.\)

Tổng quát: Xét \(x\in Q\):

• Nếu \(x>0\) thì điểm biểu diễn số \(x\) nằm bên phải điểm 0 và cách điểm 0 một khoảng bằng \(x\) đơn vị. Do đó \(\left|x\right|=x\).
• Nếu \(x=0\) thì điểm \(x\) trùng với điểm 0. Do đó \(\left|x\right|=0\).
• Nếu \(x< 0\) thì điểm biểu diễn số \(x\) nằm bên trái điểm 0 và cách điểm 0 một khoảng bằng \(-x\) đơn vị. Do đó \(\left|x\right|=-x\).

Ta có:

\(|x|=\left\{ \begin{array} $x \text{ nếu } x\ge 0 \\ -x \text{ nếu } x<0\end{array}\right.\)

Ví dụ: 

+) \(x=0,7\) thì \(\left|x\right|=\left|0,7\right|=0,7\) (vì \(0,7>0\)).

+) \(x=\dfrac{-11}{3}\) thì \(\left|x\right|=\left|\dfrac{-11}{3}\right|=-\left(\dfrac{-11}{3}\right)=\dfrac{11}{3}\) (vì \(\dfrac{-11}{3}< 0\)).

Từ định nghĩa và tính chất trên, ta thu được nhận xét sau:

Nhận xét: Với mọi số \(x\in Q\) ta có:

\(\left|x\right|\ge0\);

\(\left|x\right|=\left|-x\right|\);

\(\left|x\right|\ge x\).

Như vậy, hai số đối nhau luôn có cùng giá trị tuyệt đối. 

Ví dụ: Tìm \(x\) biết 

a) \(\left|x\right|=3,8\);

b) \(5-\left|2x+\dfrac{1}{3}\right|=3\dfrac{1}{3}\).

Lời giải:

a) \(\left|x\right|=3,8\) suy ra \(x=3,8\) hoặc \(x=-3,8\).

b) \(5-\left|2x+\dfrac{1}{3}\right|=3\dfrac{1}{3}\)

\(\left|2x+\dfrac{1}{3}\right|=5-3\dfrac{1}{3}\)

\(\left|2x+\dfrac{1}{3}\right|=5-\dfrac{10}{3}\)

\(\left|2x+\dfrac{1}{3}\right|=\dfrac{5}{3}\)

Trường hợp 1: \(2x+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{3}\)

\(2x=\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{3}\)

\(2x=\dfrac{4}{3}\)

\(x=\dfrac{4}{3}:2\)

\(x=\dfrac{2}{3}.\)

Trường hợp 2: \(2x+\dfrac{1}{3}=-\dfrac{5}{3}\)

\(2x=-\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{3}\)

\(2x=-2\)

\(x=\left(-2\right):2\)

\(x=-1.\)

Vậy \(x=\dfrac{2}{3};x=-1\) là các giá trị cần tìm.

2. Cộng, trừ, nhân, chia số thập phân

Ở lớp dưới ta đã biết, để cộng, trừ, nhân, chia số thập phân, ta có thể viết chúng dưới dạng phân số, rồi áp dụng các quy tắc phép tính với phân số để giải quyết yêu cầu bài toán.

Trong thực hành, ta có thể làm như sau:

a) Với các phép cộng, trừ, nhân hai các số thập phân: ta thực hiện các quy tắc về giá trị tuyệt đối và về dấu tương tự như đối với số nguyên.

Ví dụ:

+) \(\left(-2,14\right)+\left(-4,53\right)=-\left(2,14+4,53\right)=-6,67.\)

+) \(0,178-3,621=-\left(3,621-0,178\right)=-3,443.\)

+) \(\left(-3,24\right).4,6=-\left(3,24.4,6\right)=-14,904.\)

+) \(\left(-3,4\right).\left(-2,32\right)=3,4.2,32=7,888.\)

b) Với phép chia số thập phân \(x\) cho số thập phân \(y\ne0\), ta làm như sau:

• Tính thương của \(\left|x\right|\) và \(\left|y\right|\).
• Đặt trước kết quả dấu "\(\text{+}\)" nếu \(x,y\) cùng dấu và dấu "\(-\)" nếu \(x,y\) khác dấu.

Ví dụ: 

+) \(9,6:1,2=8\);

+) \(\left(-0,625\right):\left(-0,25\right)=+\left(0,625:0,25\right)=2,5.\)

+) \(7,5:\left(-0,6\right)=-\left(7,5:0,6\right)=-12,5.\)

Chú ý: Các phép toán với số thập phân cũng có các tính chất tương tự như số nguyên: giao hoán, kết hợp, phân phối, ...

Ví dụ: Tính giá trị các biểu thức sau (tính nhanh nếu có thể):

a) \(A=\left|-4,2\right|+2,9+\left|-3,7\right|-\left|4,2\right|-\left|-2,9\right|\);

b) \(B=-4,1-13,7+3,1-5,9-6,3\).

Lời giải:

a) \(A=\left|-4,2\right|+2,9+\left|-3,7\right|-\left|4,2\right|-\left|-2,9\right|\)

\(=4,2+2,9+3,7-4,2-2,9\)

\(=\left(4,2-4,2\right)+\left(2,9-2,9\right)+3,7\)

\(=0+0+3,7\)

\(=3,7.\)

b) \(B=-4,1-13,7+3,1-5,9-6,3\)

\(=\left(-4,1-5,9\right)+\left(-13,7-6,3\right)+3,1\)

\(=-\left(4,1+5,9\right)-\left(13,7+6,3\right)+3,1\)

\(=-10-20+3,1\)

\(=-30+3,1\)

\(=-\left(30-3,1\right)\)

\(=-26,9.\)