Bài 6: Lũy thừa của một số hữu tỉ (tiếp theo...)

1. Lũy thừa của một tích

Xét các ví dụ sau:

+) \(\left(2.4\right)^5=\left(2.4\right).\left(2.4\right).\left(2.4\right).\left(2.4\right).\left(2.4\right)=\left(2.2.2.2.2\right).\left(4.4.4.4.4\right)=2^5.4^5;\)

+) \(\left(\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{5}\right)^3=\left(\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{5}\right).\left(\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{5}\right).\left(\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{5}\right)=\left(\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}\right).\left(\dfrac{1}{5}.\dfrac{1}{5}.\dfrac{1}{5}\right)=\left(\dfrac{2}{3}\right)^3.\left(\dfrac{1}{5}\right)^5.\)

Một cách tổng quát, với \(x,y\in Q;n\in N\) ta có:

\((x.y)^n=\underbrace{(x.y)(x.y)...(x.y)}_{n \text{ thừa số }(x.y)}=(\underbrace{x.x...x}_{n \text{ thừa số}})(\underbrace{y.y...y}_{n \text{ thừa số}})=x^n.y^n\)

Như vậy, ta có kết quả:

\(\left(x.y\right)^n=x^n.y^n\)

Ví dụ: 

+) \(\left(\dfrac{1}{4}\right)^5.4^5=\left(\dfrac{1}{4}.4\right)^5=1^5=1;\)

+) \(\left(\dfrac{2}{5}\right)^6.\left(2,5\right)^6=\left(\dfrac{2}{5}.2,5\right)^6=\left(\dfrac{2}{5}.\dfrac{5}{2}\right)^6=1^6=1;\)

+) \(32.\left(\dfrac{3}{2}\right)^5=\left(2^5\right).\left(\dfrac{3}{2}\right)^5=\left(2.\dfrac{3}{2}\right)^5=3^5=243.\)

2. Lũy thừa của một thương

Xét các ví dụ:

+) \(\left(\dfrac{-3}{4}\right)^4=\left(\dfrac{-3}{4}\right).\left(\dfrac{-3}{4}\right).\left(\dfrac{-3}{4}\right).\left(\dfrac{-3}{4}\right)=\dfrac{\left(-3\right)\left(-3\right)\left(-3\right)\left(-3\right)}{4.4.4.4}=\dfrac{\left(-3\right)^4}{4^4};\)

+) \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^5=\left(\dfrac{2}{3}\right)\left(\dfrac{2}{3}\right)\left(\dfrac{2}{3}\right)\left(\dfrac{2}{3}\right)\left(\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{2.2.2.2.2}{3.3.3.3.3}=\dfrac{2^5}{3^5}.\)

Một cách tổng quát, với \(x,y\in Q;y\ne0;n\in N\) ta có:

\(\left(\dfrac{x}{y}\right)^n=\underbrace{\dfrac{x}{y}.\dfrac{x}{y}...\dfrac{x}{y}}_{n \text{ thừa số}}=\dfrac{\overbrace{x.x...x}^{n \text{ thừa số}}}{\underbrace{y.y...y}_{n \text{ thừa số}}}=\dfrac{x^n}{y^n}\)

Như vậy, ta có kết quả:

\(\left(\dfrac{x}{y}\right)^n=\dfrac{x^n}{y^n}\)

Ví dụ: 

+) \(\left(\dfrac{-2}{3}\right)^3=\dfrac{\left(-2\right)^3}{3^3}=\dfrac{-8}{27};\)

+) \(\left(0,75\right)^4:\left(\dfrac{1}{4}\right)^4=\left(0,75\right)^4:\left(0,25\right)^4=\left(\dfrac{0,75}{0,25}\right)^4=3^4=81;\)

+) \(\dfrac{12^3}{64}=\dfrac{\left(3.2^2\right)^3}{2^6}=\dfrac{3^3.2^6}{2^6}=3^3.\left(\dfrac{2}{2}\right)^6=3^3.1^6=27\).

Như vậy, ta đã học các phép biến đổi cơ bản của lũy thừa: Tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số, Lũy thừa của lũy thừa, Lũy thừa của một tích, một thương. Ta thường vận dụng khéo léo các phép biến đổi này trong các bài tập tính giá trị biểu thức chứa lũy thừa, chẳng hạn như các ví dụ dưới đây:

Ví dụ 1: \(M=\dfrac{2^{10}.3^6}{6^3.8^2}=\dfrac{2^{10}.3^6}{\left(2.3\right)^3.\left(2^3\right)^2}=\dfrac{2^{10}.3^6}{2^3.3^3.2^6}=\dfrac{2^{10}.3^6}{2^9.3^3}=\dfrac{2.2^9.3^3.3^3}{2^9.3^3}=2.3^3=2.27=54\).

Ví dụ 2: \(A=\dfrac{8^{15}+4^{20}}{4^{25}+32^9}=\dfrac{\left(2^3\right)^{15}+\left(2^2\right)^{20}}{\left(2^2\right)^{25}+\left(2^5\right)^9}=\dfrac{2^{45}+2^{40}}{2^{50}+2^{45}}\)

\(=\dfrac{2^{40}.2^5+2^{40}}{2^{45}.2^5+2^{45}}=\dfrac{2^{40}\left(2^5+1\right)}{2^{45}\left(2^5+1\right)}=\dfrac{2^{40}}{2^{45}}=\dfrac{2^{40}}{2^{40}.2^5}=\dfrac{1}{2^5}=\dfrac{1}{32}\).

Lưu ý: Ta chứng minh được tính chất sau: 

Với \(a\ne0,a\ne\pm1\): Nếu \(a^m=a^n\) thì \(m=n\).

Ta có thể áp dụng tính chất trên vào một số bài toán tìm \(x\) liên quan đến lũy thừa.

Ví dụ: Tìm \(x\) biết:

a) \(x^5=32\);

b) \(\left(2x-3\right)^3=64\);

c) \(\left(4-x\right)^4=16\).

Lời giải:

a) Ta có \(x^5=32\) mà \(32=2^5\), suy ra \(x^5=2^5\). Do đó \(x=2\).

b) Ta có \(\left(2x-3\right)^3=64\) mà \(64=4^3\), suy ra \(2x-3=4\).

\(2x-3=4\)

\(2x=7\)

\(x=\dfrac{7}{2}.\)

Vậy \(x=\dfrac{7}{2}\) là giá trị cần tìm.

c) Ta có: \(\left(4-x\right)^4=16\), mà \(16=2^4=\left(-2\right)^4\)

Trường hợp 1: \(\left(4-x\right)^4=2^4\)

\(4-x=2\)

\(x=2.\)

Trường hợp 2: \(\left(4-x\right)^4=\left(-2\right)^4\)

\(4-x=-2\)

\(x=-6.\)

Vậy có hai giá trị thỏa mãn là \(x=2;x=-6.\)