Bạn từ chứng minh BĐT đầu bài.

a) Áp dụng: \(VT\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}+\frac{1}{bc\left(b+c\right)+abc}+\frac{1}{ca\left(c+a\right)+abc}\) 

\(=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)

\(=\frac{1}{a+b+c}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}\)

b) Với abc = 1. Ta viết BĐT lại thành:

\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{abc}\)

Sử dụng cách chứng minh ở câu a.

c) Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(x^3;y^3;z^3\right)\) thì xyz = 1; x, y, z > 0. Đưa về chứng minh:

\(\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\le1\)

Cách chứng minh tương tự câu b.

Ta có:

\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{abc}\)

\(\Leftrightarrow\frac{abc}{a^3+b^3+abc}+\frac{abc}{b^3+c^3+abc}+\frac{abc}{c^3+a^3+abc}\le1\)

Áp dụng BDT \(ab\left(a+b\right)\le a^3+b^3\)thì ta có:

\(\frac{1abc}{a^3+b^3+abc}\le\frac{abc}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{c}{a+b+c}\)

Tương tự ta có:

\(\hept{1\begin{cases}\frac{abc}{b^3+c^3+abc}\le\frac{a}{a+b+c}\\\frac{abc}{c^3+a^3+abc}\le\frac{b}{a+b+c}\end{cases}}\)

Cộng 3 cái trên vế theo vế ta được

\(\frac{abc}{a^3+b^3+abc}+\frac{abc}{b^3+c^3+abc}+\frac{abc}{c^3+a^3+abc}\le\frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}=1\)

\(\Rightarrow\)ĐPCM

demonstrate that \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

Với mọi a,b >0 có \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)(tự CM). Dấu "=" xảy ra <=> a=b và a,b>0

<=> \(a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\)

<=> \(\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)

CM tương tự cx có :\(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}\)

\(\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{ac\left(a+b+c\right)}\)

=>A= \(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ac\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{abc\left(a+b+c\right)}+\frac{a}{abc\left(a+b+c\right)}+\frac{b}{abc\left(a+b+c\right)}\)

<=> A\(\le\frac{1}{abc}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c>0

\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\) ( đúng )

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b\)

a) Áp dụng BĐT trên ta có:

\(\Sigma\left(\frac{1}{a^3+b^3+abc}\right)\le\Sigma\left(\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}\right)=\Sigma\left[\frac{1}{ab}\cdot\left(\frac{1}{a+b+c}\right)\right]=\frac{1}{a+b+c}\cdot\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=\frac{a+b+c}{\left(a+b+c\right)\cdot abc}=\frac{1}{abc}\)

Dấu "=" khi \(a=b=c\)

b) \(\Sigma\left(\frac{1}{a^3+b^3+1}\right)\le\Sigma\left(\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}\right)=\Sigma\left[\frac{1}{ab}\cdot\left(\frac{1}{a+b+c}\right)\right]=\frac{1}{abc}=1\)

Dấu "=" khi \(a=b=c=1\)

c) \(\Sigma\left(\frac{1}{a+b+1}\right)\le\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt[3]{ab}\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)+\sqrt[3]{abc}}\right)=\Sigma\left[\frac{1}{\sqrt[3]{ab}\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)}\right]\)

\(=\frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}\cdot\left(\frac{1}{\sqrt[3]{ab}}+\frac{1}{\sqrt[3]{bc}}+\frac{1}{\sqrt[3]{ca}}\right)=\frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}{\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)\cdot\sqrt[3]{abc}}=\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}=1\)

Dấu "=" khi \(a=b=c=1\)

Lời giải:

Vì $a,b,c\in (0;1]$ nên $ab,bc,ac\in (0;1]$

Do đó: \((ab-1)(bc-1)(ca-1)\leq 0\)

\(\Leftrightarrow (ab^2c-ab-bc+1)(ca-1)\leq 0\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2c^2-(ab^2c+a^2bc+abc^2)+ab+bc+ac-1\leq 0\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2c^2+ab+bc+ac\leq ab^2c+a^2bc+abc^2+1\)

\(\Leftrightarrow \frac{a^2b^2c^2+ab+bc+ac}{abc}\leq \frac{ab^2c+a^2bc+abc^2+1}{abc}\)

\(\Leftrightarrow abc+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq a+b+c+\frac{1}{abc}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Nhìn sơ qua hình như bài có thiếu đk gì đó...

Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow a^2-ab+b^2\ge ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

BĐT đầu đúng => \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)đúng. Dấu "=" xảy ra <=> a=b

Áp dụng vào bài toán: \(a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b\right)+abc=ab\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)

Tương tự: \(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)};\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)

Cộng 3 cái trên lại: \(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)\(=\frac{c+a+b}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}.\)(đpcm)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c.

một cửa hàng có 1 bao đường nặng 42kg. Ngày thứ nhất bán 2/7 bao đường. Ngày thứ hai bán 3/5 số đường còn lại. Hỏi sau hai ngày bán cửa hàng còn lai bao nhiêu kg đường

giải hộ mk nha

Ừ thì sai đề vô căn cứ đây!

Dễ dàng chứng minh bất đẳng thức phụ với  \(a,b>0\), và với chú ý rằng nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức khi  \(a>b\) và  \(ab>0\)

Ta có:

\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)  \(\Leftrightarrow\)  \(a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\)  \(\Leftrightarrow\)  \(\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)  \(\left(1\right)\)

Hoàn toàn tương tự:

\(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}\)  \(\left(2\right)\)  và  \(\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)  \(\left(3\right)\) 

Cộng từng vế \(\left(1\right);\)  \(\left(2\right)\)  và  ​\(\left(3\right)\), ta được:

\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}\)

Dấu   \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(a=b=c\)

bạn xem lại dấu BĐT ?

bạn thử thế a=1 c=2 b=3 vào là bik ngay đề sai

đúng đề rồi mà bạn