Ta có:

\(21b+\frac{3}{a}=\frac{3}{a}+\frac{a}{3}+\frac{62a}{3}\ge2\sqrt{\frac{3}{a}.\frac{a}{3}}+\frac{62.3}{3}=2+62=64\left(a\ge3\right)\left(1\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{3}{a}=\frac{a}{3}\)và  \(a=3\Leftrightarrow a=3\)

\(\frac{21}{b}+3b=\frac{21}{b}+\frac{7b}{3}+\frac{2b}{3}\ge2\sqrt{\frac{21}{b}.\frac{7b}{3}}+\frac{2.3}{3}=14+2=16\left(b\ge3\right)\left(2\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{21}{b}=\frac{7b}{3}\)và  \(b=3\Leftrightarrow b=3\)

Từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh.

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=3\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(x+\frac{1}{x-1}=\left[\left(x-1\right)+\frac{1}{x-1}\right]+1\ge2\sqrt{\left(x-1\right)\cdot\frac{1}{x-1}}+1=2+1=3\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra <=> x = 2 

Đặt $t=x-1$ thì $x=t+1$ và $t>0$. Ta có 

         x+\dfrac{1}{x-1}=1+t+\dfrac{1}{t}\ge1+2.\sqrt{t.\dfrac{1}{t}}=3x+x−11​=1+t+t1​≥1+2.t.t1​​=3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  t=\dfrac{1}{t}=1\Leftrightarrow x-1=1\Leftrightarrow x=2t=t1​=1⇔x−1=1⇔x=2 

a) Ta có:

\(x^2+4x+5\)

\(=x^2+2.x.2+4+1\)

\(=\left(x+2\right)^2+1\)

Vì \(\left(x+2\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x+2\right)^2+1>0\forall x\)

\(\Rightarrow x^2+4x+5>0\forall x\)

b) Ta có:

\(x^2-x+1\)

\(=x^2-2.x.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}+1\)

\(=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\)

Vì \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\forall x\)

\(\Rightarrow x^2-x+1>0\forall x\)

c) Ta có:

\(12x-4x^2-10\)

\(=-\left(4x^2-12x+10\right)\)

\(=-\left[\left(2x\right)^2-2.2x.3+9+1\right]\)

\(=-\left(2x-3\right)^2-1\)

Vì \(-\left(2x-3\right)^2\le0\forall x\)

\(\Rightarrow-\left(2x-3\right)^2-1< 0\forall x\)

\(\Rightarrow12x-4x^2-10< -1\)

bài này nhìn như vậy thì khó làm 
nhưng bạn  đặt ẩn phụ thì sẽ hơn rất nhiều
Đặt : x-1=a ; y=b
sau đó dùng cô si nhé 
k thì dùng tương đương

Thì bạn làm chi mình coi với

a ) \(x^2+4x+5=x^2+2.x.2+2^2+1=\left(x+2\right)^2+1\)

\(Do\left(x+2\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x+2\right)^2+1\ge1>0\forall x\left(đpcm\right)\)

b) \(x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)

\(Do\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}>0\forall x\left(đpcm\right)\)

c)\(-\left(4x^2-12x+9\right)-1=-\left(2x-3\right)^2-1\)

\(Do-\left(2x-3\right)\le0\Rightarrow-\left(2x-3\right)-1\le-1\forall x\)

\(x^2+2.x.2+2^2+5-4\) \(\Rightarrow\left(x+2\right)^2+5-4\) \(\Rightarrow\left(x+2\right)^2+1\)

 vì \(\left(x+2\right)^2\ge0\) \(\Rightarrow\left(x+2\right)^2+1\ge1\)  \(\ge0\) \(\Rightarrow dpcm\)

b) \(x^2-2.x.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2+1-\left(\frac{1}{2}\right)^2\) \(\Rightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}\)

vì \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\) \(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}\ge\frac{5}{4}\ge0\) \(\Rightarrow dpcm\)

c) \(12x-4x^2-10=-\left(4x^2-12x+10\right)\) = \(\left[\left(2x\right)^2-2.2x.3+3^2\right]+10-3^2\)

\(\Rightarrow\left(2x-3\right)^2+10-9\) \(\Rightarrow\left(2x-3\right)^2+1\) vì \(\left(2x-3\right)^2\ge0\Rightarrow\left(2x-3\right)^2+1\ge1hay\ge0\left(1>0\right)\Rightarrow dpcm\)

hihi mk ấn máy tính sia hết các câu r nha , sr , xem bạn bên dưới ý mk ấn lộn vs lác sai đầu bài ,sory

Bài 1:

Vì $a\geq 1$ nên:

\(a+\sqrt{a^2-2a+5}+\sqrt{a-1}=a+\sqrt{(a-1)^2+4}+\sqrt{a-1}\)

\(\geq 1+\sqrt{4}+0=3\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=1$

Bài 2:
ĐKXĐ: x\geq -3$

Xét hàm:

\(f(x)=x(x^2-3x+3)+\sqrt{x+3}-3\)

\(f'(x)=3x^2-6x+3+\frac{1}{2\sqrt{x+3}}=3(x-1)^2+\frac{1}{2\sqrt{x+3}}>0, \forall x\geq -3\)

Do đó $f(x)$ đồng biến trên TXĐ

\(\Rightarrow f(x)=0\) có nghiệm duy nhất

Dễ thấy pt có nghiệm $x=1$ nên đây chính là nghiệm duy nhất.

\(x^4+4x^3+6x^2+4x+1\)

\(=\left(x^4+2x^3+x^2\right)+\left(2x^3+4x^2+2x\right)+\left(x^2+2x+1\right)\)

\(=x^2\left(x^2+2x+1\right)+2x\left(x^2+2x+1\right)+\left(x^2+2x+1\right)\)

\(=\left(x^2+2x+1\right)\left(x^2+2x+1\right)=\left(x+1\right)^4\ge0;\forall x\in R\)

Ta có: \(x+\frac{1}{x}-2=\frac{x^2}{x}+\frac{1}{x}-\frac{2x}{x}\)

\(=\frac{x^2+1-2x}{x}=\frac{x\left(x-2\right)+1}{x}\)

Lại có \(x>0\Rightarrow x\left(x-2\right)+1\ge0\)

\(\Rightarrow\frac{x\left(x-2\right)+1}{x}\ge0\)

\(\Rightarrow x+\frac{1}{x}-2\ge0\)

\(\Rightarrow x+\frac{1}{x}\ge2\)\(\left(đpcm\right)\)

Minh Tâm Bạn tự đặt câu hỏi rồi tự giải có ý nghĩa gì không ???