a, Xét \(\Delta ADB;\Delta ADC\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\\DB=DC\\ADchung\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\Delta ADB=\Delta ADC\left(c-c-c\right)\)

b, \(\Delta ADB=\Delta ADC\left(cmt\right)\)

\(\Leftrightarrow\widehat{BDA}=\widehat{ADC}\)

Lại có :

\(\widehat{BDA}+\widehat{ADC}=180^0\left(kềbuf\right)\)

\(\Leftrightarrow\widehat{BDA}+\widehat{ADC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

\(\Leftrightarrow AD\perp BC\)

Tự kẽ hình nha :

a) Xét tam giác AHB và tam giác ABC có :

\(\widehat{A}\) = \(\widehat{H}\) = 90⁰

\(\widehat{B}\) = góc chung

=.tam giác AHB ~ tam giác CAB ( g.g)

b) ADĐL pitago và tam giác vuông ABC , có :

AB² + AC² = BC²

12² + 16² = BC²

BC² = 400

=> BC = 20 cm

Vì tam giác AHB ~ tam giác CAB ( câu a) , ta có :

\(\dfrac{AH}{AC}\)= \(\dfrac{AB}{BC}\)

=.> \(\dfrac{AH}{16}\)= \(\dfrac{12}{20}\)

=> AH = 9,6 cm

c)

Thay : \(\dfrac{EA}{EB}\)= \(\dfrac{DB}{DC}\)=\(\dfrac{FC}{FA}\)

Thành : \(\dfrac{AD}{DB}\)=\(\dfrac{DB}{BC}\)= \(\dfrac{BC}{AD}\)

Mà : \(\dfrac{AD}{DB}\)=\(\dfrac{DB}{BC}\)=\(\dfrac{BC}{AD}\)= 1

=> \(\dfrac{EA}{EB}\)=\(\dfrac{DB}{DC}\)=\(\dfrac{FC}{FA}\)= 1

a: Xét ΔABD và ΔACD có

AB=AC

BD=CD

AD chung

Do đó: ΔABD=ΔACD

=>\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)

=>AD là phân giác của góc BAC

b: Sửa đề: DM\(\perp\)AB tại M. Chứng minh AC\(\perp\)DN

Xét ΔAMD và ΔAND có

AM=AN

\(\widehat{MAD}=\widehat{NAD}\)

AD chung

Do đó: ΔAMD=ΔAND

=>\(\widehat{AMD}=\widehat{AND}\)

mà \(\widehat{AMD}=90^0\)

nên \(\widehat{AND}=90^0\)

=>DN\(\perp\)AC

c: Xét ΔKCD và ΔKNE có

KC=KN

\(\widehat{CKD}=\widehat{NKE}\)(hai góc đối đỉnh)

KD=KE

Do đó: ΔKCD=ΔKNE

d: Xét ΔABC có \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\)

nên MN//BC

Ta có: ΔKCD=ΔKNE

=>\(\widehat{KCD}=\widehat{KNE}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên NE//DC

=>NE//BC

ta có: NE//BC

MN//BC

NE,MN có điểm chung là N

Do đó: M,N,E thẳng hàng

b

Δ ABD ⊥ tại D có DE là đường cao.

=> \(AD^2=AE.AB\) (hệ thức lượng) (1)

Δ ADC ⊥ tại C có DC là đường cao.

=> \(AD^2=AF.AC\) (hệ thức lượng) (2)

Từ (1), (2) suy ra: \(AE.AB=AF.AC\left(=AD^2\right)\)

Xét Δ AEF và Δ ACB có: 

\(\widehat{EAF}=\widehat{CAB}\) (góc chung)

\(\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{AB}{AC}\left(cmt\right)\)

=> Δ AEF đồng dạng Δ ACB (c.g.c)

a

Theo hệ thức lượng có: \(DF^2=AF.FC=3,6.6,4=23,04\Rightarrow DF=\sqrt{23,04}=4,8\)

\(AC=AF+FC=3,6+6,4=10\)

\(S_{ADC}=\dfrac{1}{2}AC.DF=\dfrac{1}{2}.10.4,8=24\)

a: Xét ΔABC và ΔAED có

AB/AE=AC/AD

góc BAE chung

Do đó: ΔABC\(\sim\)ΔAED

b: Xét ΔFBD và ΔFEC có

\(\widehat{FDB}=\widehat{FCE}\left(=\widehat{ADE}\right)\)

góc BFD chung

Do đó: ΔFBD\(\sim\)ΔFEC

c: BD=AB-AD=4,8-3,2=1,6(cm)

EC=AC-AE=6,4-2,4=4(cm)

Ta có: ΔADE\(\sim\)ΔACB

nên DE/CB=AD/AC=3,2/6,4=1/2

=>DE=1,8(cm)

a: Xét ΔABC và ΔAED có

AB/AE=AC/AD

góc BAE chung

Do đó: ΔABC\(\sim\)ΔAED

b: Xét ΔFBD và ΔFEC có

\(\widehat{FDB}=\widehat{FCE}\left(=\widehat{ADE}\right)\)

góc BFD chung

Do đó: ΔFBD\(\sim\)ΔFEC

c: BD=AB-AD=4,8-3,2=1,6(cm)

EC=AC-AE=6,4-2,4=4(cm)

Ta có: ΔADE\(\sim\)ΔACB

nên DE/CB=AD/AC=3,2/6,4=1/2

=>DE=1,8(cm)

a) Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta DCE\) có :

BE = EC (E là trung điểm của BC -gt)

\(\widehat{AEB}=\widehat{DEC}\) (đối đỉnh)

AE = ED (gt)

=> \(\Delta ABE\) = \(\Delta DCE\) (c.g.c)

b) Ta có : \(\widehat{CDE}=\widehat{BAE}\) (2 góc tương ứng - \(\Delta ABE\) = \(\Delta DCE\) )

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

=> AB //DC (đpcm)

c) Theo giả thuyết thì ta có :

Trong tam giác ABC có : \(AB=AC\)

=> \(\Delta ABC\) cân tại A

Mà AE là đường trung tuyến trong tam giác

=> AE đồng thời là đường trung trưc trong tam giác

=> \(AE\perp BC\) (đpcm)

d) Để \(\widehat{ADC}=45^o\)

<=> \(\Delta ABC\) vuông cân tại A

a) Xét ΔABE và ΔDCE có :

BE = EC (E là trung điểm của BC -gt)

góc AEB=góc DEC (đối đỉnh)

AE = ED (gt)

=> ΔABE = ΔDCE (c.g.c)

b) Ta có : góc CDE=góc BAE (2 góc tương ứng - tam giác ABE = tam giác DCE )

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

=> AB //DC (đpcm)

c) Theo giả thuyết thì ta có :

Trong tam giác ABC có : AB=AC

=> ΔABC cân tại A

Mà AE là đường trung tuyến trong tam giác

=> AE đồng thời là đường trung trưc trong tam giác

=> AE⊥BC (đpcm)

d) Để góc ADC = 45 độ <=> tam giác ABC vuông cân tại A