dùng đồng dư đi :v 

2^2^2n=16^n

có 16 đồng dư 2 mod 7

=>16^n đồng dư 2 mod 7

=>16^n+5 đồng dư 0 mod 7

Với n = 1 thì \(x^1\ge2.x^0=0\)

Giả sử đẳng thức đúng với n = k nghĩa là : \(x^k\ge\left(k+1\right).x^{k-1}\).

Ta phải chứng minh :

\(x^n\ge\left(n+1\right).x^{n-1}\)đúng với n = k + 1. Ta phải chứng minh \(x^{k+1}\ge\left[\left(k+1\right)+1\right].x^{\left(k-1\right)+1}=\left(k+2\right).x^k\)

\(=\left(x^k.k+2x^k+1\right)-1=\left(x^k+1\right)^2-1\le x^{k+1}\)

Vậy đẳng thức luôn đúng với mọi \(n\inℕ^∗\)

\(n=1\Rightarrow1^1\ge1!\) đúng

Giả sử đúng với \(n=k\) hay \(k^k\ge k!\) 

Cần chứng minh đúng với \(n=k+1\) hay \(\left(k+1\right)^{k+1}\ge\left(k+1\right)!\)

Ta có:

\(\left(k+1\right)^{k+1}=\left(k+1\right).\left(k+1\right)^k>\left(k+1\right).k^k\ge\left(k+1\right).k!=\left(k+1\right)!\) (đpcm)

bạn ơi mình có cách làm bài này dễ hơn quy nạp, bạn có thể tham khảo mình :

trước tiên mình cho bạn công thức aⁿ-bⁿ chia hết a-b (n tự nhiên,a,b nguyên)và đề trên bạn thiếu n>0 nha , n=0 thì điều cm ko đúng

11ⁿ⁺¹+12^2n-1

=11^n+2-1+11^n-1.12-11^n-1.12+12^2n-2+1

=121.11^n-1+11^n-1.12+144^n-1.12-11^n-1.12

=11^n-1(121+12)+12(144^n-1-11^n-1)

=11^n-1.133+12(144^n-1-11^n-1)

vì 133 chia hết cho 133 suy ra 11^n-1.133 chia hết cho 133 (1)

vì n>0 suy ra n-1>=0 suy ra n-1 tự nhiên

vì 144^n-1-11^n-1 chia hết cho 144-11=133 và  n-1 tự nhiên  suy ra 144^n-1-11^n-1 chia hết cho 133 suy ra 12(144^n-1-11^n-1) chia hết cho 133 (2)

từ (1),(2) suy ra 11^n-1.133+12(144^n-1-11^n-1)chia hết cho 133 suy ra 11ⁿ⁺¹+12^2n-1 chia hết cho 133 

Mình thấy quy nạp cũng dễ mà, nhỉ :)))

Toán lớp 1 hả má ơi

đay là toán lớp 1 hả :)))